Вцилиндр вписана призма, основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а. прилежащий угол равен 30 градусов, диагональ боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол 45 градусов. найти объем цилиндра.
Цетр окружности в которую вписан прямоугольный треугольник лежит на середине гипотенузы. Тогда АС/2R= cos 30. Где АС=2а. Отсюда R=2а/корень из 3. Угол диагонали 45 значит высота призмы и соответственно цилиндра равна стороне основания (в равнобедренном треугольнике)=2а. Объём цилиндра V=π*(4а²/3)*2а =π* 8а³/3 . Кстати нужно уточнить к какой грани относится диагональ. Здесь дан расчёт для 2а.
Расстоянием от точки до прямой называется длина кратчайшего перпендикуляра. таким образом, необходимо опустить перпендикуляр из точки с на прямую sa. для этого достроим равнобедренный треугольник sca и перпендикуляр сk, при чем k лежит на самой стороне sa, так как угол sca острый. обозначим ck за х. тогда по т. пифагора: х^2+sk^2=sc^2 x^2+ak^2=ac^2. отсюда приравняем: sc^2-sk^2=ac^2-ak^2. 4-sk^2=sqrt2(диагональ через 1 вершину в правильном шестиугольнике в sqrt2 раза больше стороны, т.е. ac=ab*sqrt2=-sk)^2. 4-sk^2=sqrt2-(4-4sk+sk^2). 4-sk^2=sqrt2-4+4sk-sk^2. 4=sqrt2-4+4sk. 4sk=8-sqrt2. sk=2-(sqrt2)/4. kc^2=sc^2-sk^2=4-(4-sqrt2+1/8)=sqrt2-1/8. kc=sqrt(sqrt2-1/8).
