Пусть дан треугольник АВС. ОН - серединный перпендикуляр к стороне АВ. АН=НВ, ОН - высота треугольника АВО и его медиана, значит треугольник АВО равнобедренный и АО=ВО (1). ОР - серединный перпендикуляр к стороне ВС. ВР=РС, ОР - высота треугольника СВО и его медиана, значит треугольник СВО равнобедренный в ВО=СО (2). Из (1) и (2) видно, что АО=СО, следовательно треугольник АОС равнобедренный в его высота ОК - является медианой. АК=КС. Значит ОК - серединный перпендикуляр, что и требовалось доказать.
Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда образуют треугольник. Есть правило существования треугольника: Если с - большая сторона и если а + b > c, то треугольник существует и если a² + b² > c², то треугольник остроугольный, если a² + b² < c², то треугольник тупоугольный, если a² + b² = c², то треугольник прямоугольный. Поскольку 30+40=70, значит этот треугольник "вырожденный", то есть один из углов = 180 градусов. Значит диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда не могут иметь длину 30,40 и70.
