Вравнобедренном треугольнике авс с основанием ас=а медиана ам перпендикулярна биссектрисе ск и пересекает её в точке о. найти ам, ск и площадь четырёхугольника вмок.
1) - 3 2) (Многооо очень) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º Сумма углов треугольника равна 180º, а прямой угол равен 90º, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором A — прямой, B = 30º и, значит, C = 60º. Докажем, что AC = 1/2 BC. Приложим у треугольнику ABC равный ему треугольник ABD, как показано на рисунке 1. Получим треугольник BCD, в котором B = D = 60º, поэтому DC = BC. Но AC = 1/2 DC. Следовательно, AC = 1/2 BC, что и требовалось доказать. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º. 3)Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов. Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 4)Ввысота может лежать вне треугольника, а остальное только внутри 5) Не знаю.
1) - 3 2) (Многооо очень) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º Сумма углов треугольника равна 180º, а прямой угол равен 90º, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором A — прямой, B = 30º и, значит, C = 60º. Докажем, что AC = 1/2 BC. Приложим у треугольнику ABC равный ему треугольник ABD, как показано на рисунке 1. Получим треугольник BCD, в котором B = D = 60º, поэтому DC = BC. Но AC = 1/2 DC. Следовательно, AC = 1/2 BC, что и требовалось доказать. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º. 3)Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов. Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 4)Ввысота может лежать вне треугольника, а остальное только внутри 5) Не знаю.
1) В треугольнике АСМ СО - биссектриса и высота, значит он равнобедренный,
СМ = СА = а,
М - середина ВС, ⇒ ВМ = СМ = а; АВ = ВС = 2а.
ΔВСН: cos∠ACB = HC/BC = a/2 / (2a) = 1/4
Из ΔAMCпо теореме косинусов:
AM² = AC² + CM² - 2AC·CM·cos∠ACB
AM² = a² + a² - 2a·a·1/4 = 2a² - a²/2 = 3a²/2
AM = a√3/√2 = a√6/2
2) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
ВК : АК = ВС : АС = 2а : а = 2 : 1, ⇒
АК = 1/3 AB = 1/3 · 2a = 2a/3
cos∠BAC = cos∠BCA = 1/4 (углы при основании равнобедренного треугольника)
Из ΔАКС по теореме косинусов:
CK² = AK² + AC² - 2AK·AC·cos∠BAC
CK² = 4a²/9 + a² - 2 · 2a/3 · a · 1/4 = 13a²/9 - a²/3 = 10a²/9
CK = a√10/3
3) Samc = 1/2 AC·CM·sin∠BCA
sin∠BCA = √(1 - cos²∠BCA) = √(1 - 1/16) = √(15/16) = √15/4
Sacm = 1/2 · a · a · √15/4 = a²√15/8
Sabm = Sacm = a²√15/8 так как медиана делит треугольник на два равновеликих.
AO = OM = AM/2 = a√6/4 (так как ΔАМС равнобедренный)
ΔАКО: AO = a√6/4, AK = 2a/3, по теореме Пифагора
OK = √(AK² - AO²) = √(4a²/9 - 6a²/16) = √(64a²/144 - 54a²/144) = √(10a²/144) =
= a√10/12
Saok = 1/2 OK · AO = 1/2 · a√10/12 · a√6/4 = a²√60/96 = a²√15/48
Sbmok = Sabm - Saok = a²√15/8 - a²√15/48 = 5a²√15/48