Question

Две стороны треугольника равны 2 и 2√15, а медиана третьей стороны равна 4. найдите площадь треугольника.

Answer 1

Половина длины стороны, к которой построена медиана = x
Острый угол между медианой и этой стороной = f
Тогда теорема косинусов для двух треугольников, на которые медиана бьёт исходный даёт систему из двух уравнений
2²=x²+4²-2·x·4·cos (f)
2²·15=x²+4²-2·x·4·cos (180°-f)
---
4=x²+16-8·x·cos(f)
60=x²+16+8·x·cos(f)
---
-12=x²-8·x·cos(f)
44=x²+8·x·cos(f)
Сложим два уравнения
44-12=2x²
16=x²
x=4
Т.е. исходный треугольник имеет стороны 2, 8, 2√15
Найдём его площадь по формуле Герона

$p=\frac {a+b+c}{2} = \frac {2+8+2\sqrt{15}}{2} = 5+\sqrt{15}\\ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\\ =\sqrt{(5+\sqrt{15})*(3+\sqrt{15})*(-3+\sqrt{15})*(5-\sqrt{15})}=\\ =\sqrt{(5^{2} -\sqrt{15}^{2})*(\sqrt{15}^{2}-3^{2})}=\\ =\sqrt{(25-15)*(15-9)}=\sqrt{10*6}=\sqrt{60}=\sqrt{4*15}=2\sqrt{15}\\$