Продлим медианы так, чтобы: BD = DO, B1D1 = D1O1. В ΔADO и ΔDBC: AD = DC (из условия) BD = DO (по построению) ∠ADO = ∠BDC (как вертикальные).
Таким образом, ΔADO = ΔBDC по 1-му признаку равенства треугольников; откуда АО = ВС как лежащие в равных треугольниках против равных углов, ∠AOD = ∠DBC.
Аналогично ΔA1D1O1 = ΔD1B1O1 и А1О1 = В1С1, ∠A1O1D1 = ∠D1В1С1.
Т.к. ВС = В1С1, то АО = А1О1. В ΔАОВ и ΔА1О1В1: АВ = А1В1 (из условия), АО = А1О1 (по построению), ВО = В1О1 (по построению),
Таким образом, ΔАВО = ΔА1В1О1 по 3-му признаку равенства треугольников. Откуда
∠A1B1C1 = ∠A1B1D1 + ∠D1B1C1, т.к. правые части равны, то и левые должны быть равны.
Следовательно ∠АВС = ∠А1В1С1.
В ΔABC и ΔA1В1С1:
∠АВС = ∠А1В1С1, АВ = А1В1, ВС = В1С1 (из условия).
Таким образом, ΔАВС = ΔА1В1С1 по 1-му признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.
В трёх измерениях построить сечение легко соединив середины рёбер. Для удобства вычислений построим горизонтальную проекцию сечения.Рисуем основание куба-квадрат АВСД со стороной а.На СД отметим точку К(середина по условию), АД аналогично точку М. Соединим точки М и К с точкой В. Треугольник ВМК это проекция искомого сечения на основание. Проведём диагональ ВД, которая пересекает МК в точке Т.Поскольку треугольник КДМ прямоугольный равнобедренный угол ТМД =45, ВД диагональ квадрата, она же и биссектриса значит ТДК=45. Тогда треугольник МТД равнобедренный и МТ=ТД=МК/2=а*корень из 2)/4. Где МК=(а* корень из 2)/2 находим зная катеты МД и МК. Найдём ВТ, она равна =диагональ квадратаВД-ТД=(а*корень из 2)-(а* корень из 2)/4=(3а*корень из2)/4. Площадь проекции Sвмк=(МК*ВТ)/2=3*(а квадрат)/2. Искомая площадь S=Sвмк/cos45= 3*(а квадрат)*(корень из 2)/2. Во втором задании не ясно условие , что подразумевается под наибольшей диагональю, ведь в основании квадрат, параллелепипед прямоугольный.