№1
Если прямая перпендикулярна плоскости, то эта прямая будет перпендикулярна любой прямой прямой, лежащей на этой плоскости.
Так как ВН перпендикулярна плоскости (АВС), АС – отрезок, лежащий на плоскости (АВС), то ВН перпендикулярна АС.
Доказано.
№2
а) Рассмотрим ∆DCK, ∆DCL, ∆DCM и ∆DCN.
Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей на этой плоскости.
Следовательно DC перпендикулярна МК и NL, то есть угол DCK=угол DCL=угол DCM=угол DCN=90°.
Значит рассматриваемые треугольники прямоугольные.
KLMN – квадрат по условию.
Диагонали квадрата равны и точкой пересечения деляться пополам. Следовательно любая половина диагонали квадрата равна трём другим.
То есть CK=CL=CM=CN.
DC – общая сторона.
Тогда ∆DCK=∆DCL=∆DCM=∆DCN как прямоугольные треугольники по двум катетам.
Исходя из этого DK=DL=DM=DN как соответствующие стороны равных треугольников.
Доказано.
б) Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу.
Следовательно угол КСL=90°, тогда ∆КСL – прямоугольный.
СК=СL (доказано ранее). Пусть СК=х, тогда CL=x так же.
По теореме Пифагора в прямоугольном ∆KCL:
KL²=CL²+CL²
12²=x²+x²
2x²=144
x²=72
Совокупность:
x=√72
х=–√72
Так как длина задана положительным числом, то
х=√72
То есть CL=√72.
∆DCL – прямоугольный с прямым углом DCL (доказано ранее).
По теореме Пифагора в прямоугольном ∆DCL:
DL²=CL²+DC²
DL²=(√72)²+3²
DL²=72+9
Совокупность:
DL=√81
DL=–81
Совокупность:
DL=9
DL=–9
Так как длина задана положительным числом, то
DL=9.
DN=DL (доказано ранее), следовательно DN=9.
ответ: 9
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301