Объяснение:
SA₁B₁C₁=S
Медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников с площадями SABC/6
тогда площади треугольников SOAB=SOAC=SOBC=(1/3)SABC так как каждый из них состоит из двух таких треугольников
и медианы в точке пересечения делятся в отношении 1:2
пусть точка О- точка пересечения медиан
тогда получается что
OA=(2/3)AA₂
AA₁=(1/2)AA₂
OA₁=(2/3)AA₂-(1/2)AA₂=(1/6)AA₂
OA₁/OA=(1/6)AA₂/(2/3)AA₂=1/4
аналогичным образом
OB₁/OB=1/4
OC₁/OC=1/4
тогда треугольники OA₁B₁, OA₁C₁, OB₁C₁ подобны треугольникам OAB, OAC, OBC с коэффициентом подобия 1/4
отношения площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия то есть (1/4)²=1/16
SOA₁B₁=(1/16)SOAB
SOA₁C₁=(1/16)SOAC
SOB₁C₁=(1/16)SOBC
сложим эти равенства
SOA₁B₁+SOA₁C₁+SOB₁C₁=(1/16)(SOAB+SOAC+SOBC)
SA₁B₁C₁=(1/16)SABC
SABC=16SA₁B₁C₁=16S
SABC=16S
Даны уравнения высоты CD: 3x + 4y − 15=0, биссектрисы BL: 3x − y − 4 = 0 и координаты вершины A (4; 3) треугольника АВС.
Находим уравнение стороны АВ как перпендикуляра к высоте CD (используя свойство перпендикулярной прямой: коэффициенты А и В меняются на В и (-А)).
AB: 4x - 3y + C = 0, подставляем координаты точки А.
4*4 - 3*3 + С = 0, отсюда С = 9 - 16 = -7.
Уравнение АВ: 4х - 3у - 7 = 0.
Находим координаты точки В как точки пересечения АВ и BL.
4x - 3y - 7 = 0, 4x - 3y - 7 = 0
3x - y - 4 = 0 умн.на-3 = -9x + 3y + 12 = 0
-5x + 5 = 0, x = 5/5 = 1.
y = 3x - 4 = 3*1 - 4 = -1.
Точка В(1; -1).
Переходим к стороне ВС как симметричной АВ относительно BL.
Угловые коэффициенты прямых:
k1(AB) = (4/3), k2(BL) = 3.
Тангенс угла между ними (разность угловых коэффициентов) опредляем по формуле:
k = (k2 - k1) / (1 + k2*k1) = (3 - (4/3)) / (1 + 3*(4/3)) = 1/3.
Находим k(BC) = (3 + (1/3)) / (1 - 3*(1/3)) = ∞.
То есть, ВС - это вертикальная линия с уравнением х = 1.
Уравнение ВС: х = 1.
Определяем координаты точки С при х = 1.
у(С) = (15 - 3*1) / 4 = 3. Точка С(1; 3).
Так как по оси Оу координата совпадает, то это - горизонтальная линия с у = 3.
Уравнение АС: у = 3.