Основание высоты правильной четырёхугольной пирамиды - точка пересечения диагоналей основания (квадрата). Эта же точка - центр вписанной в квадрат и описанной вокруг него окружности.
О - точка пересечения диагоналей, Н - середина стороны АD.
1).
BD - диагональ квадрата.
Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания, ⇒ МО перпендикулярна любой прямой, проходящей через т.О.
∆ МОD - прямоугольный. OD=ВD/2.
OD=√(DM² -MO² )=√(100-36)=8⇒
BD=16 - диагональ основания
2)
ОВ=ОА, ∠ВОА=90°, ⇒ АВ=ВО•√2=8√2 – сторона основания.
3)
Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. r=AB:2=8√2):2=4√2
4)
Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. R=OD=8;
5)
Все боковые грани правильной пирамиды равны.
КН║АВ, КН=АВ;
OН=КН/2; Н - середина АD, МН - апофема грани AMD.
Из ∆ МОН по т.Пифагора
МН=√ (МО²+ОН²)=√68=2√17- апофема.
Плоскость МКО, параллельная плоскости ∆ АВС, пересекает боковые грани по прямым, параллельным сторонам основания АВС и отсекает от исходной пирамиды подобную ей пирамиду RMKO.
Площади подобных фигур относятся как квадрат отношения их линейных размеров.
k=RK:RВ=1/2 ⇒ k²=1/4
Площадь боковой поверхности пирамиды RABC равна сумме площадей её боковых граней.
S ∆ RAB=RA•AB/2
AB=RA•ctg45°=8
S ∆ RAB=8•8/2=32
S ∆ RAC=RA•AC/2
AC=AB•sin30°=8·1/2=4
S ∆ RAC=4·8/2= 16
S ∆ RCB=RC·BC/2
BC=AB·cos30•=4√3
RC по т.Пифагора=√(AC²+AR²)=√(16≠64)=4√5
S ∆ RCB=(4√5)·(4√3)/2=8√15
S бок RABC=32+16+8√15=8·(6+√15)
S бок RMKO= S бок RABC:4=2·(6+√15) ед. площади.
