Дано АВСD трапеция ВН = 5 см ВС > АD в 5 раз Sabcd=25cм^2 Найти ВС=? АD =? Решение S abcd= BC+AD/2*BH ВС=х AD=5x 5(х+5х)/2=25 6х=10 х=5/3=1 2/3 см ВС=1 2/3 см AD=8 1/3 см ответ ВС= 1 2/3см AD= 8 1/3 см
)длина вектора |ab| = √(12+32) = √10 б) разложение по векторам: ab = i+3j 2) а) уравнение окружности: (x-xa)2 + (y-ya)2 = |ab|2 (x+1)2 + y2 = 10 б) точка d принадлежит окружности, если |ad| = |ab| |ad| = √(())2 + (2-0)2) = √40 √40 ≠ √10 - точка d не принадлежит окружности 3) уравнение прямой имеет вид y = kx+b k = yab/xab = 3/1 = 3 0 = 3·(-1) + b b = 3 уравнение прямой: y = 3x+3 4) а) координаты вектора cd: cd = (5-6; 2-1) = (-1; 1) xab/xcd = 1/-1 = -1, yab/ycd = 3/1 = 3 -1 ≠ 3 - следовательно, векторы ab и cd не коллинеарные, и четырёхугольник abcd не прямоугольник.подозреваю, что координаты точки d должны быть (5; -2) тогда точка d также не принадлежит окружности , но:а) координаты вектора cd: cd = (5-6; -2-1) = (-1; -3) xab/xcd = 1/-1 = -1, yab/ycd = 3/-3 = -1 -1 = -1 - векторы ab и cd коллинеарны б) координаты вектора ad: ad = (); -2-0) = (6; -2) координаты вектора bc: bc = (6-0; 1-3) = (6; -2) xbc/xad = 6/6 = 1, ybc/yad = -2/-2 = 1 1 = 1 - векторы bc и ad коллинеарны. векторы лежат на попарно параллельных прямых, значит, четырёхугольник abcd - параллелограмм. cos (ab^bc) = (1·6+3·(-2))/(√(12+32)·√(62+(-2)2)) = 0 ab^bc = 90° если в параллелограмме один угол прямой, то остальные углы тоже прямые, и этот параллелограмм - прямоугольник.
Известно, что отрезок высоты от вершины до ортоцентра (то есть до точки пересечения высот) в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны. В нашем случае, если из центра O описанной окружности опустить перпендикуляр OD на AC, то OD=OB/2=1/2.
Далее, ∠C_1HA_1=∠AHC=105° как вертикальные, а поскольку ∠BC_1H=∠BA_1H=90°⇒ ∠C_1BA_1=360°-90°-90°-105°=75°. Поскольку этот угол является вписанным в описанную вокруг треугольника ABC окружность, а угол AOC - центральным и опирающимся на ту же дугу⇒∠AOC=2·75=150°, а ∠AOD=(1/2)AOC=75°.
Наконец, ΔAOD прямоугольный, AO гипотенуза, равная радиусу описанной окружности⇒OD/R=cos 75°⇒ R=OD/(cos 45°+30°)=(1/2)/(cos 45°cos 30°- sin 45° sin 30°)= 1/((√6-√2)/2)=2(√6+√2)/(6-2)=(√6+√2)/2
Факт, приведенный в начале решения, слишком интересен сам по себе, чтобы приводить доказательство здесь. Присылайте запрос, и я, когда будет время, докажу этот факт
АВСD трапеция
ВН = 5 см
ВС > АD в 5 раз
Sabcd=25cм^2
Найти ВС=? АD =?
Решение
S abcd= BC+AD/2*BH
ВС=х AD=5x
5(х+5х)/2=25
6х=10
х=5/3=1 2/3 см ВС=1 2/3 см AD=8 1/3 см
ответ ВС= 1 2/3см AD= 8 1/3 см