По через вершину а ромба авсд проведена прямая ар перпендикулярно к его плоскости,найдите расстояние от точки р до прямых вс сд и вд если ра=ав=а и авс=120 градусов
В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов. Проведем перпендикуляр из точки Р к прямой СВ. Так как угол АВС=120°, этот перпендикуляр пересечет прямую СВ в точке К на продолжении стороны СВ ромба. В прямоугольном треугольнике АКВ угол АВК=60°, как смежный угол с углом АВС=120°. Следовательно, катет АК равен а*Sin60 или АК = а√3/2. В прямоугольном треугольнике РАК (сторона РК перпендикулярна прямой КС по теореме о трех перпендикулярах) гипотенуза РК по Пифагору равна РК=√(а²+3а²/4) = а√7/2. Это и есть искомое расстояние от точки Р до прямой ВС. Заметим что расстояние от точки Р до прямой CD равно расстоянию от точки Р до прямой ВС в силу симметричности ромба относительно диагонали АС. Расстояние от точки Р до прямой BD - это отрезок РО (перпендикулярный прямой BD по теореме о трех перпендикулярах), где точка О - точка пересечения диагоналей. Поскольку треугольники АКВ и АОВ равны по гипотенузе АВ и острому углу, АО=АК =>
РО = РК = а√7/2.
ответ: расстояние от точки Р до прямых АВ, CD и BD одинаково и равно а√7/2 ед.
1)Пусть С- прямой угол в прямоугольном треугольнике АВС, тогда СН-высота проведенная к гипотенузе, СМ- биссектриса,проведенная к гипотенузе. 2)По условию сказано, что угол между СМ и СН равен 15 градусов. 3)По свойству биссектрисы угол АСМ= углу МСВ=45 градусов(т.к С по условию 90),значит, так как угол НСМ=15 градусов, а угол НСМ+угол АСН=45 градусов, то угол АСН равен 30 градусам. 4)Так как СН высота, то угол СНА равен 90 градусов, следовательно угол САН=60 градусов( по теореме о сумме углов треугольника). 5)Значит, в треугольнике АВС угол В = 180-90-60=30 градусов( по теореме о сумме углов треугольника) 6) Так как в прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы, то АС=3 см 7) По теореме Пифагора СВ= 3 корня из 3 ответ: 3 и 3корня из 3
№1 КМ и КН отрезок касательных проведенных из точки К к окружности с центром О.Найти КМ иКН если ОК=12 и угол МОН=120 градусам. №2 Диагональ ромба ABCD пересекаются в точке О.Доказать что прямая ВD касается окружности с центром А и радиусом ОС
1. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, т. е. КМ=КН КО - биссектриса угла МОН, след-но тр-ники КОМ и КОН - прямоугольные, с углами= 90, 60, 30 град. ОМ=ОН=6см. , КМ=КН=sqrt(144-36)=7sqrt2 2. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, т. е. АО=ОС, отсюда диагональ ромба ВD касается окружности с центром А и радиусом ОС
В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов. Проведем перпендикуляр из точки Р к прямой СВ. Так как угол АВС=120°, этот перпендикуляр пересечет прямую СВ в точке К на продолжении стороны СВ ромба. В прямоугольном треугольнике АКВ угол АВК=60°, как смежный угол с углом АВС=120°. Следовательно, катет АК равен а*Sin60 или АК = а√3/2. В прямоугольном треугольнике РАК (сторона РК перпендикулярна прямой КС по теореме о трех перпендикулярах) гипотенуза РК по Пифагору равна РК=√(а²+3а²/4) = а√7/2. Это и есть искомое расстояние от точки Р до прямой ВС. Заметим что расстояние от точки Р до прямой CD равно расстоянию от точки Р до прямой ВС в силу симметричности ромба относительно диагонали АС. Расстояние от точки Р до прямой BD - это отрезок РО (перпендикулярный прямой BD по теореме о трех перпендикулярах), где точка О - точка пересечения диагоналей. Поскольку треугольники АКВ и АОВ равны по гипотенузе АВ и острому углу, АО=АК =>
РО = РК = а√7/2.
ответ: расстояние от точки Р до прямых АВ, CD и BD одинаково и равно а√7/2 ед.