В усеченном конусе радиусы оснований равны 5 см и 3 см. Через две его образующие проведено сечение плоскостью, которая отсекает от оснований дуги по 120°. Найдите площадь (в см²) сечения, если высота усеченного конуса равна √2 см.
—————————
ответ: 12 см²
Объяснение: Основания усеченного конуса параллельны, его образующие равны,⇒ основания сечения лежат в параллельных плоскостях, а плоскость сечения является равнобедренной трапецией.
Радиусы оснований и хорды, соединяющая их концы, образуют равнобедренные треугольники АОВ и СО1D c углами при вершинах О и О1, равными величине отсекаемых плоскостью сечения дуг, т.е. 120°.
Из суммы углов треугольника острые углы этих треугольников (180°-120°):2=30°.
По т. синусов АВ:sin120°=ОВ:sin30°, откуда АВ=5√3.
Аналогично СD=3√3
По свойству катета, противолежащего углу 30°, катет О1М=0,5•О1С=3/2 см.
Аналогично ОN=0,5•ОВ=0,5•5=2,5 см.
Для нахождения высоты MN трапеции АВСD проведем высоты(медианы) О1М в ∆ СO1D и ON в ∆ ВOA и опустим из М перпендикуляр МН на ОN.
ОН⊥АВ ⇒ по т. о 3-х перпендикулярах MN⊥АВ. MN - высота сечения.
OH=O1M=1,5 см
НN=2,5-1,5=1 MH=O1O=√2 см
В прямоугольном треугольнике МНN по т.Пифагора МN=√(MN^2+NH^2)=√(2+1)=√3 см
Площадь трапеции равна произведению её высоты на полусумму оснований.
S(ABCD)=MN•(CD+AB)•1/2=(3√3+5√3)•1/2=12 (см²)
Если периметр 52, то сторона 52/4=13/см/; диагонали в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом; половина данной диагонали 24/2=12/см/, тогда половина другой диагонали √(13²-12²)=√(25*1)=5/см/, диагонали равны 24 см и 5*2=10/см/, тогда площадь равна 0.5*10*24=120/см²/, и эта же площадь. с другой стороны, равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне, которая является диаметром окружности, вписанной в ромб.
откуда диаметр равен d=2r=120/13; значит, радиус искомый равен 120/(2*13)=60/13=4 8 /13/cм/
Угол между векторами АВ и ВС равен 120°, их скалярное произведение будет -12,5, т.к. cos120°=- 1/2.