Question

Один из углов треугольника равен альфа(первая буква греческого алфавита). найдите углы которые образуются при пересечении биссектрис двух других углов. 99 !

Answer 1

Пусть дан ΔАВС 
∠А = α
О - точка пересечения биссектрис
Найти: ∠ВОС, ∠ВОМ

Пусть ∠В = 2β, ∠С = 2γ, тогда:
∠KBC = β, ∠MCB = γ (так как ВК и СМ - биссектрисы)

Зная, что сумма углов треугольника = 180°, запишем равенство для ΔАВС:
$\alpha +2 \beta +2 \gamma=180 \\ 2(\beta + \gamma)=180- \alpha \\ \beta + \gamma= \frac{180- \alpha }{2}\\ \beta + \gamma=90- \frac{ \alpha }{2}$

Из ΔВОС:
$\angle BOC=180-(\beta + \gamma)=180-(90- \frac{ \alpha }{2})=180-90+ \frac{ \alpha }{2}=90+ \frac{ \alpha }{2}$

Углы ВОС и ВОМ - смежные, отсюда:
$\angle BOM=180-\angle BOC=180-(90+ \frac{ \alpha }{2})=180-90- \frac{ \alpha }{2}=90- \frac{ \alpha }{2}$