Question

Втреугольнике abc угол при вершине b острый . отрезок bm-медиана этого треугольника а)докажите, что bm> 1/2ac б)найдите sinabc если ab=15 bc=7 bm=10

Answer 1

Т.к. ∠A+∠B+∠C=180° и ∠B<90°, то ∠A+∠C>90°
Допустим, BM<0.5AC, т.е. ВМ<АМ и ВМ<СМ.
тогда по теореме (напротив большей стороны лежит больший угол) 
∠BAM<∠ABM и ∠BCM<∠CBM, сложим,
∠BAM+∠BCM<∠ABM+∠CBM, т.е.
в треугольнике АВС ∠B>∠A+∠C, т.е. ∠B>90°, что противоречит условию, следовательно, ВМ>0.5AC.

$BM= \frac{1}{2} \sqrt{BA^{2}+BC^{2}+2AB*BC*cosABC} ,\\ cosABC=\frac{4BM^{2}-BA^{2}-BC^{2}}{2AB*BC}= \frac{400-225-49}{2*15*7} =0.6 \\ sinABC= \sqrt{1-cos^{2}ABC} = \sqrt{1-0.36} =\sqrt{0.64}=0.8$