Радиус окружности, вписанной в правильный четырехугольник равен 20см. вычислите отношение периметра этого четырхугольника к длине описанной около его окружности
Пусть будет трапеция АВСD, BC и AD - основания. Площадь трапеции - это полусумма оснований помноженная на высоту. Высоту не обязательно опускать из вершины. Проведём высоту так, чтобы центр вписанной окружности лежал на ней. Пусть это будет высота НК, О - центр вписанной окружности. Это возможно, если точки Н и К - точки касания окружности с основаниями трапеции (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). Средняя линия трапеции - это полусумма оснований, значит, площадь трапеции можно найти как средняя линия помноженная на высоту. У нас есть длина средней линии - 5, и если площадь - 40, значит, высота НК=40\5=8. НК=ОН+ОК=2ОК => ОК=8\2=4 - радиус вписанной окружности.
Треугольники EAB и FAD подобны, поэтому EB/FD=AB/AD. Аналогично, треугольники BAK и DAL подобны, поэтому BK/DL=AB/AD. Значит EB/FD=BK/DL С другой стороны треугольники EBC и LDC подобны, поэтому EB/DL=BC/CD. Аналогично, треугольники BKC и DFC подобны, поэтому BK/FD=BC/CD. Значит EB/DL=BK/FD. Перемножим полученные равенства EB/FD=BK/DL и EB/DL=BK/FD. Находим, что EB²/(FD·DL)=BK²/(DL·FD). После сокращения, EB²=BK², т.е. EB=BK. Отсюда и из равенства EB/FD=BK/DL следует, что и FD=DL. Все подобия здесь по двум углам в силу парллельности прямых EK и FL.
Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата:
r = a/2
a/2 = 20
a = 40 см
Р = 4а = 4 · 40 = 160 см
Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата. Диагональ по теореме Пифагора:
d = √(a² + a²) = √(2a²) = a√2
d = 40√2 см
R = d/2 = 20√2 см
Длина описанной окружности:
С = 2πR = 2π · 20√2 = 40π√2 см
P/C = 160 / (40π√2) = 4 / (π√2) = 2√2 / π