Дан угол ABD, АС- его биссектриса, Прямая ВD перпендикулярна АС. Треугольники АВС и АСD равны по катету и прилежащему к нему острому углу (угол САВ= углу САD, т.к. СА- биссектриса). У равных треугольников равны соответствующие элементы, следовательно, АВ=AD, что и требовалось доказать
Удивительно, но эта такая сложная по формулировке задача решается в одно действие. Угол между высотами, выходящими (например, тут полный произвол в обозначениях) из вершин углов A и B; равен 180 - С; Это можно просто сосчитать, как 180 - (90 - A) - (90 - B) = A + B = 180 - C; а можно просто заметить, что четырехугольник, образованный сторонами угла С и высотами (ну кусочками), выходящими из углов A и B, очевидно является вписанным (да даже еще проще - в нем два угла прямых). а можно просто заметить, что у угла С и угла между высотами СТОРОНЫ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ. :) Поэтому в обоих треугольниках напротив общей их стороны AB лежат углы, синусы которых равны. Поэтому (по теореме синусов) равны радиусы окружностей, описанных вокруг этих треугольников.
Первое, что нетрудно доказывается, --- треугольник АВК прямоугольный. Площадь прямоугольного треугольника = половине произведения катетов))) гипотенуза АВ = 4 --это очевидно из получившейся трапеции... а чтобы найти катеты не хватает известных углов))) на рисунке есть два равных треугольника: треугольник АВК равен половине равнобедренного треугольника с боковыми сторонами 4 ---по гипотенузе и острому углу))) из этого очевидно: АК = 2*КВ по т.Пифагора 4х² + х² = 16 ---> 5x² = 16 S(ABK) = (1/2)*x*2x = x² = 16/5 = 3.2
