Question

98
решить двумя методом координат и простым)

Answer 1

Решения в объяснении и приложенных рисунках.

Объяснение:

1. Координатный метод.

Пирамида правильная. =>

MH = (√3/2)a = 3√3.  MO = (2/3)·3√3 =2√3. ∠FMQ = 30°

Привяжем систему координат к вершине М так, что ось Х проходит по высоте основания МН. Тогда имеем точки:

М(0;0;0), В(2√3;0;3), Н(3√3;0;0)), К(3√3;3;0).

FQ = MF/2 = (√21/2)/2 = √21/4, MQ =  MF·Sin60 = √21·√3)/4. Тогда точки

Q((√21·√3)/4;0;0), F((√21·√3)/4;√21/4;0).

По Пифагору MB = √(ВО²+МО²) = √(9+12) = √21.  Тогда

Sin(∠BMO) = BO/MB = 3/√21.  

Cos(∠BMO) = MO/MB = 2√3/√21.  =>

PP' = MP·Sin(∠BMO) = (7/4)·(3/√21) = √21/4.  (Zp)

MP' =  MP·Cos(∠BMO) = (7/4)·(2√3/√21) = √7/2. (Xp)Имеем координаты точки Р:

Р(√7/2;0;√21/4).

Теперь имеем координаты всех нужных для решения точек.

а) Найдем координаты векторов РF и BK.

PF{(√21·√3-2√7)/4; √21/4; - √21/2}  или PF{√7/4; √21/4; - √21/4}.

ВК{√3;3; -3}. Отношение соответствующих координат этих векторов:

Xbk/Xpf = √3/(√7/4) = 12/√21.

Ybk/Ypf = 3/(√21/4) = 12/√21.

Zbk/Zpf = -3/(-√21/4) = 12/√21.

Отношения равны, значит векторы ВК и PF параллельны.

Найдем координаты векторов РQ и BH.

PQ{(√21·√3-2√7)/4; 0; - √21/4}  или PQ{(√7/4; 0; - √21/4}.

ВH{√3;0; -3}. Отношение соответствующих координат этих векторов:

Xbh/Xpq = √3/(√/4) = 12/√21.

Ybh/Ypq = 0/0. (такое отношение приравнивается любому значению).

Zbh/Zpq = -3/(-√21/4) = 12/√21.

Отношения равны, значит векторы ВН и PQ параллельны.

Признак параллельности плоскостей: Плоскости FEP и NBK параллельны, если пересекающиеся прямые PF и РQ (лежащие в плоскости FEP) параллельны прямым ВК и ВН (лежащим в плоскости NBK) соответственно.

Следовательно, мы доказали, что плоскости FEP и NBK параллельны.

б) Уравнение плоскости NBK составим по точкам В(2√3;0;3), Н(3√3;0;0)) и К(3√3;3;0) по формуле:

|x - xН   xB - xН   xК - xН|

|y - yН   yB - yН   yК - yН| = 0.

|z -  zН   zB - zР  zК -  zН|

Подставим данные трех наших точек:

|x-3√3   -√3    0 |        

|y-0         0      3 | = 0.

|z-0          3      0 |        

Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:

             |0  3|       | -√3  0|        | -√3    0 |

(x-3√3)*|3  0| - y*|   3   0| + z*|   0      3 | =  0.  Или

(x-3√3)*(-9) - y*(0) +z*(-3√3) = 0. =>

9x +(0)y+3√3z -27√3= 0. Или

3x +(0)y+√3z -9√3 = 0.  Коэффициенты: А=3, В=0, С=√3, D= -9√3.

Проверка для точки В: 6√3+0+3√3-9√3 = 0.  Для точки Н: 9√3+0+0-9√3=0. Для точки К: 9√3-0+0-9√3=0. Итак, уравнение плоскости верное.

Найдем расстояние от точки Р(2√7/4;0;√21/4) до плоскости NBK по формуле:

d =(|A·Px+B·Py+C·Pz+D|)/(√(A²+B²+C²).  В нашем случае:

d = |6√7)/4+0+3·√7/4-9√3|/(√(9+0+3) = |(9√7 - 36√3)/4| /(2√3) =  =|3(√21-12)|/8 = 3(12-√21)/8.

2. Геометрическое решение.

а). У равнобедренного треугольника FME и  равностороннего треугольника КМM угол М общий. Следовательно, треугольники подобны с коэффициентом подобия k=MF/MK. k = √21/12.  =>

FE||KN.

Треугольник MNK правильный => MH = (√3/2)a = 3√3.  

MO = (2/3)·3√3 =2√3. В прямоугольном треугольнике МВО по Пифагору:

ВМ =  √(ВО²+МО²) = √(9+12) = √21. Тогда

МР/ВМ = (7/4)/√21 = √21/12. Следовательно, треугольники FMP и KMB подобны, по третьему признаку подобия (МР/ВМ = MF/MK = √21/12, а ∠М - общий).

Из подобия => PF||BK.

Плоскости FEP и NBK параллельны, если пересекающиеся прямые PF и FE (лежащие в плоскости FEP) параллельны прямым ВК и KN (лежащим в плоскости NBK) соответственно (признак).

Следовательно, мы доказали, что плоскости FEP и NBK параллельны.

б) Расстояние от точки Р до плоскости NBK - это перпендикуляр, опущенный из этой точки на плоскость. Построим этот перпендикуляр.

В треугольнике МВН опустим высоту МR на сторону ВН. RH - проекция наклонной МН на плоскость NBK (по теореме о трех перпендикулярах), следовательно прямая MR перпендикулярна плоскости NBK.  

Проведем через точку Р в треугольнике МВН прямую PS параллельно прямой MR.

Отрезок PS перпендикулярен плоскости NBK и является искомым расстоянием.

Треугольники  PBS и MBR подобны с коэффициентом k=PB/MB.

PB = MB - MP = √21 - 7/4.  k = (4√21-7)/(4√21). PS = MR*k.

Smbh = (1/2)*BO*MH = (1/2)*3*3√3 =9√3/2.  

По Пифагору BH = √(BK²-KH²) =  √(21-9) = √12.

Тогда MR = 2S/BH = 9√3/√12 = 9/2.

MS = (9/2)*(4√21-7)/(4√21) = 9(4√21-7)/8√21 = 3(4√21-7)√21/(8*7) = 3(12-√21)/8.