Question

Хорда основания цилиндра равна 16 см и удалена от центра этого основания на 6 см. отрезок, соединяющий центр другого основания цилиндра с концом данной хорды, образует с плоскостью основания угол 45 градусов. найдите объем цилиндра.

Answer 1

AB - хорда, AB = 16

O, O1 - центры соответственно нижнего и верхнего оснований.

OH - перпендикуляр к хорде AB, OH = 6

Соединим центры оснований высотой OO1

Т.к. OO1 ⊥ плоскости OAB, то OA - проекция наклонной O1A на плоскость OAB и ∠OAO1 и будет углом между наклонной O1A и плоскостью основания ⇒ ∠OAO1 = 45°

Из прямоугольного ΔOHA по теореме Пифагора:

$OA=\sqrt{OH^2+AH^2}=\sqrt{OH^2+(\frac{AB}{2})^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$

Из прямоугольного ΔOAO1 (он равнобедренный, т.к. ∠OAO1 = 45°)

OO1 = OA = 10

Найдем объем цилиндра:

$V=\pi*OA^2*OO_1=\pi*10^2*10=1000\pi$