Question

Вправильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а высота пирамиды равна 7см. вычислите площадь полной поверхности пирамиды

Answer 1

Дано:

Правильная четырёхугольная пирамида $FABCD$.

$AB=6$ (см).

$FG=7$ (см).

Найти:

$S_{(n. \: no_Bepx.)}=?$ (см²).

Решение:

$\boxed{S_{(n. \: no_Bepx.)}=S_{(oc_Ho_B.)}+S_{(6o_K. \: no_Bepx.)}}$

Значит сначала мы должны найти площадь основания пирамиды, а затем площадь боковой поверхности пирамиды.

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, поэтому $S_{(_k_B.)}=a^2=6^2=36$ (см²).

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды - полупроизведение периметра основания на апофему.

Значит нам нужно сначала найти апофему нашей пирамиды.

1 правило: Апофема делит сторону основания пополам.2 правило: Катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды.

Объяснение 1 правила: из этого следует, что апофема $FH$ делит сторону основания $DC$ так, что $DH=HC=\dfrac{6}{2}=3$ (см).

Объяснение 2 правила: внутри нашей пирамиды образовался прямоугольный $\triangle FGH$, где $FG$ - катет прямоугольного тр-ка (высота пирамиды); $GH$ - катет прямоугольного тр-ка; $FH$ - гипотенуза прямоугольного тр-ка (апофема пирамиды). По данному правилу можно сказать, что $DH=HC=GH=3$ (см).

Так как апофема $FH$ нашей пирамиды является ещё и гипотенузой прямоугольного $\triangle FGH$, то мы сможем найти её величину по т.Пифагора:

$FH=\sqrt{FG^2+GH^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{49+9}=\sqrt{58}$ (см).

Теперь найдём периметр основания (квадрата):

$P=4a=6\cdot4=24$ (см).

Затем найдём площадь боковой поверхности:

$S_{(6ok. \: no_B.)} =P_{(oc_Ho_B.)}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot FH=24\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{58}=12\sqrt{58}$ (см²).

Остаётся найти ответ на вопрос: "Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?"

$S_{(n. \: no_Bepx.)}=\boxed{36+12\sqrt{58}}$ (см²).

ответ: $\boxed{S_{(n. \: no_Bepx.)}=36+12\sqrt{58}}$ (см²).