1Пусть ABC - треугольник. М - середина АВ, N - середина ВС, К - середина АС. Докажем, что треугольники AMK, BMN, NKC, MNK равны. Так как M,N,K - середины, то AM = MB, BN = NC, AK = KC.
Используем свойство среднее линии: MN = 1/2 * AC = 1/2 * (AK + KC) = 1/2 * (AK + AK) = AK Аналогично MK = NC, NK = AM. Тогда в треугольниках AMK, BMN, NKC, MNK AM = BM = NK = NK AK = MN = KC = MN MK = BN = NC = MK
Значит треугольники равны по трем сторонам, чтд.
2Треугольники BDE и ADC равны по первому признаку равенства треугольников -по двум сторонам и углу между ними: BD=AD, DE=DC по условию, углы BDE и ADC равны как вертикальные углы. Треугольники ADE и BDC равны также по двум сторонам и углу между ними: BD=AD, DE=DC по условию, углы ADE и BDC равны как вертикальные. Значит треугольник ВАЕ, состоящий из треугольников BDE и ADE, равен треугольнику АВC, состоящему из треугольников BDC и ADC.
Нужно делить на СООТВЕТСТВУЮЩУЮ сторону треугольника. Если дано, что треугольники АВС и ОРТ, подобны, то вначале надо определить какие стороны являются соответствующими (и то же самое с углами: соответствующие углы у подобных треугольников равны). Как правило в учебниках, при записи подобных треугольников соответствие определяется по положению буквы в записи треугольника. Хотя, в новых учебниках это явно не сказано. Например, если сказано, что треугольники АВС и ОРТ подобны, то подразумевается, что угол А равен углу О, угол В равен Р, и С равен Т. И тогда стороне АВ соответствует сторона ОР, стороне ВС соответствует РТ и стороне АС соответствует OТ. Т.е. при такой записи, будет AB/OP=BC/PT=AC/OT. И в вашей задаче, если AB=8, то чтобы определить коэффициент подобия, надо знать длину именно ОР. И если сказано, что она 4, то да, треугольник ABC подобен треугольнику ОРТ с коэффициентом подобия 2.
АВ = √((5-2)²+(3+4)²) = √(3²+7²) = √(9+49) = √58
АС = √((5+3)²+(3-5)²) = √(8²+2²) = √(64+4) = √68
ВС = √((-3-2)²+(5+4)²) = √(5²+9²) = √(25+81) = √106
по теореме косинусов вычисляем углы
ВС² = AB² + AC² - 2*AB*AC*cos∠A
106 = 58 + 68 - 2√58√68*cos∠A
106 = 126 - 4√986*cos∠A
cos∠A = 5/√986
∠A = arccos(5/√986) ≈ 80,84°
теперь для угла В
AC² = AB² + BC² - 2*AB*BC*cos∠B
68 = 58 + 106 - 2*√58*√106*cos∠B
96 = 2*√58*√106*cos∠B
24 = √1537*cos∠B
cos∠B = 24/√1537
∠B = arccos(24/√1537) ≈ 52,25°
И для угла С
AB² = AC² + BC² - 2*AC*BC*cos∠C
58 = 68 + 106 - 2√68√106*cos∠C
116 = 2√68√106*cos∠C
cos∠C = 29/√1802
∠C = arccos(29/√1802) ≈ 46,91°