∠АВН = 30°; ∠ВАР = 45°.
Пошаговое объяснение:
Концы отрезка, длина которого 16 см, принадлежат двум взаимно перпендикулярным плоскостям. Расстояние от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равны 8 см и 8√2 см. найти углы, которые образует отрезок со своими проекциями на данные плоскости.
Решение.
Даны две взаимно перпендикулярные плоскости α и β.
Пусть отрезок АВ = 16 см. Расстояние от точки А, принадлежащей плоскости α, до линии пересечения плоскостей - это перпендикуляр АН, а расстояние от точки В, принадлежащей плоскости β, до линии пересечения плоскостей - это перпендикуляр ВР. Соответственно, ВН - проекция отрезка АВ на плоскость β, а АР - проекция отрезка АВ на плоскость α.
Следовательно, надо найти углы АВН и ВАР.
Отметим, что АН⊥НВ, а ВР⊥АР, так как АН⊥β, а ВР⊥α соответственно по построению.
В прямоугольном треугольнике АВН:
Sin(∠АВН) = АН/АВ =8/16 = 1/2. => ∠АВН = 30°
В прямоугольном треугольнике АРВ:
Sin(∠ВАР) = ВР/АВ =8√2/16 = √2/2. => ∠ВАР = 45°.
Определение: "Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость".
Опустим перпендикуляр С1Н на прямую СD1, лежащую в плоскости А1ВС (это плоскость А1ВСD1, так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости АА1В1В и DD1C1C по параллельным прямым А1В и D1C). Отрезок С1Н перпендикулярен любой прямой, проходящей через точку Н, лежащую в данной плоскости (свойство). Значит <C1HB=90° и искомый угол - это угол С1ВН - угол между наклонной ВС1 м ее проекцией ВН на плоскость А1ВС. В прямоугольном треугольнике С1ВН: синус угла С1ВН - это отношение противолежащего катета С1Н к гипотенузе ВС1.
По Пифагору D1C=√(D1C1²+CC1²) = √(36+64) = 10 ед (так как АВ=D1C1, a AA1=CC1, как боковые ребра параллелепипеда.
Точно так же ВС1=√(ВC²+CC1²) = √(225+64) = 17 ед.
Высота С1Н из прямого угла по ее свойству равна:
С1Н=(С1D1*CC1/D1C = 6*8/10 = 4,8 ед.
Тогда Sinα = C1H/BC1 = 4,8/17 ≈ 0,2823.
α = arcsin0,2823 ≈ 16,4°.