SO перпендикуляр к плоскости многоугольника. Рассмотрим треугольники SOM, SOQ, SOP, SON. Они все равны (прямоугольный, гипотенузы равны, а катет общий), тогда отрезки OM, OQ, OP, ON равны. Наконец, по теореме о трех перпендикулярах OM перпендикулярно AB, OQ - AD, OP - CD, ON - BC. Т.к. длины отрезков равны, а расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру, опущенному из этой точки на прямую, то О равноудалена от сторон многоугольника. Т.к. О принадлежит плоскости многоугольника, то О - центр вписанной окружности, ч.т.д.
Подробное решение. Сделаем рисунок. Очевидно, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны. Докажем это. Прямые, которые пересекают плоскости α и β, образуют пересекающиеся прямые.
Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. притом только одну.
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
Следовательно, АВ||А₁В₁, ВС||В₁С₁, АС||А₁С₁ В каждой паре треугольников СОВ и С₁ОВ₁, АОВ и А₁ОВ₁, АОС и А₁ОС₁ соответственно углы равны. Один - как вертикальный, два - как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей. Если углы одного треугольника равны углам другого треугольника, зто такие треугольники подобны. Отсюда следует подобие треугольников АВС и ,А₁В₁С₁, т.к. их стороны соответственно пропорциональны. Итак, треугольники подобны. В подобных треугольниках площади относятся как квадрат коэффициента подобия их линейных размеров. Площадь треугольника АВС по формуле Герона равна 84 см² ( давать вычисления не буду, их можно сделать самостоятельно. Замечу, что такое отношение сторон треугольника встречается часто, и эту площадь многие знают наизусть.) Найдем отношение площадей этих подобных треугольников. S(ABC): S (A1B1C1)=336:84=4 k²=4 k=2 Следовательно, стороны треугольника А₁В₁С₁ в два раза больше сторон треугольника АВС и равны А₁В₁=26 см В₁С₁=28 см А₁С₁=30 см Для проверки можно вычислить по ф. Герона площадь треугольника А₁В₁С₁ получим 336 см² ————— [email protected]
∠АСС₁=∠ВСС₁=80:2=40° (по свойству биссектрисы)
Δ С₁ВС - равнобедренный, т.к. ∠В=∠ВСС₁ ⇒ СС₁=С₁В=6 см.
ответ: 6 см.