Правильная треугольная пирамида SABC Двугранный угол ∠AKS = 60° Апофема SK = 4 см
Высота SO правильной пирамиды опускается в центр окружности, вписанной в равносторонний ΔABC ⇒ r = ОК ΔSOK прямоугольный : ∠SOK = 90° r = OK = SK*cos 60° = 4*1/2 = 2 см h = SO = SK*sin 60° = 4*√3/2 = 2√3 см Если в равносторонний ΔABC вписана окружность с радиусом r=2 см, то сторона треугольника a = CB = 2√3 r = 2√3 * 2 = 4√3 см Площадь равностороннего треугольника S = a²√3/4 = (4√3)²*√3/4 = 48*√3/4 = 12√3 см²
Объем пирамиды V = 1/3 S h = 1/3*12√3 *2√3 = 24 см³
Положим что прямая параллельная AC и проходящая через M , пересекает AB и AC в точках N и Y соотвественно , аналогично Z и X точки на BC и AC соотвественно , так же L , W на AC и BC . Так как прямые па аралелльны , то четырёхугольники LMXA , MNBZ , MWCY параллелограммы . Значит AL=XM , MY=WC , MX=BN . Полученные три треугольника подобны между собой , получаем (LN/MX)^2 = (27/12) (ZW/MY)^2 = (3/12) (MZ/LN)^2 = (3/27)
LN/MX=3/2 ZW/MY=1/2 MZ/LN=1/3
Откуда LN+AL = LN+MX = 5MX/2 Из подобия треугольников NML и ANY получаем (LN/(LN+AL))^2 = 27/(27+S(ALMX) + 12) Или 9/25 = 27/(39+S(ALMX)) Откуда S(ALMX) = 36 Аналогично и с двумя другими S(MNBZ)=18 , S(MYCW) = 12 Значит S(ABC) = 27+12+3+36+18+12 = 108
Площадь боковой грани призмы: 144:3=48 (три равных боковых грани). Значит сторона основания призмы и высота призмы равна √48= 4√3. Многогранник, вершинами которого служат центры всех граней призмы - это две равные правильные пирамиды. Высота одной такой пирамиды равна половине высоты призмы (2√3), а основание - правильный треугольник со сторонами, равными средним линиям треугольника - основания призмы - 2√3. So=(√3/4)*a² или So=3√3. Vпирамиды=(1/3)So*h=(1/3)3√3*2√3=6. Тогда объем искомого многогранника равен 2*Vпирамиды или V=2*6=12. ответ: V=12.
Двугранный угол ∠AKS = 60°
Апофема SK = 4 см
Высота SO правильной пирамиды опускается в центр окружности, вписанной в равносторонний ΔABC ⇒ r = ОК
ΔSOK прямоугольный : ∠SOK = 90°
r = OK = SK*cos 60° = 4*1/2 = 2 см
h = SO = SK*sin 60° = 4*√3/2 = 2√3 см
Если в равносторонний ΔABC вписана окружность с радиусом r=2 см, то сторона треугольника
a = CB = 2√3 r = 2√3 * 2 = 4√3 см
Площадь равностороннего треугольника
S = a²√3/4 = (4√3)²*√3/4 = 48*√3/4 = 12√3 см²
Объем пирамиды
V = 1/3 S h = 1/3*12√3 *2√3 = 24 см³