Вправильной треугольной призме abca1b1c1, все ребра которой равны 1,точки d, e - середины ребер соответственно а1в1 и a1c1. найдите тангенс угла между плоскостями ade и bcc1.
1) Треугольники ВОС и АОД подобны по двум углам ∠СВД=∠ВДА - внутренние накрест лежащие при палаллельных прямых ВС и АД и секущей ВД ∠ВОС=АОД - как вертикальные. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон ВО:ОД=ВС:АД Пусть ВО=х, тогда ВС=(х+2) х:(х+2)=6:14 14х=6х+12 8х=12 х=1,5 ВД=ВО+ОД=х+(х+2)=2х+2=2·1,5+2=3+2=5 см 2) По свойству биссектрисы: биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам АВ:АС=ВК:КС=4:7 АВ=4х АС=7х АС-АВ=9 7х-4х=9 3х=9 х=3 см АВ=4х=4·3=12 см АС=7х=7·3=21 см
Ось Х - АВ
Ось У - перпендикулярно X в сторону С
Ось Z- AA1
Координаты точек
D(0.5;0;1)
E(0.25;√3/4;1)
B(1;0;0)
B1(1;0;1)
C(0.5;√3/2;0)
Уравнение плоскости АDE
ax+by+cz=0 - проходит через начало координат.
Подставляем координаты точек
0.5а+с=0
0.25а+√3b/4+c=0
Пусть а=4 тогда с= -2 b =4/√3
4x+4y/√3 -2z =0
Уравнение плоскости ВСС1 она же ВВ1С
аx+by+cz+d=0
a+d=0
a+c+d= 0
0.5a+√3b/2+d=0
c=0
Пусть а =2 тогда d= -2 b= 2/√3
2x+2y/√3-2=0
Косинус искомого угла равен
(8+8/3)/√(16+16/3+4)/√(4+4/3)=(32/3)/√(76/3)/√(20/3)=32/√(76*20)=8/√95
синус равен √(1-64/95)=√(31/95)
тангенс √31/8