1.
М - середина АВ, значит МВ = АВ/2
Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4
К - середина ВС, значит КС = ВС/2
Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4
N - середина АС, значит NA = АС/2
G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4
По условию
PB + EC + GA = 12
АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12
1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12
АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)
2.
Из решения первой задачи следует, что
АР = 3/4 АВ
ВЕ = 3/4 ВС
CG = 3/4 AC
По условию
AP + BE + CG = 108
3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108
3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108
АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)
Треугольник равнобедренный
Длина катета z
По теореме Пифагора гипотенуза с
с² = z² + z² = 2z²
c = z√2
Площадь треугольника через два катета
S = 1/2*z*z = z²/2
Площадь треугольника через гипотенузу и высоту к ней
S = 1/2*c*h
z²/2 = c*h/2
z² = c*h
Подставим сюда длину гипотенузы
z² = z√2*h
z = h√2
h = z/√2
Сумма гипотенузы и высоты дана по условию
c + h = 12√2
z√2 + z/√2 = 12√2
2z + z = 12*2
3z = 24
z = 8