cos(ABC)>0 => △ABC - остроугольный
Отрезок AC виден из точек P и K под прямым углом
=> APKC - вписанный => ∠BPK=∠BCA => PK антипараллельна AC
Аналогично KM и MP.
(Доказали: стороны остроугольного треугольника антипараллельны сторонам ортотреугольника.)
=> △ABC~△KBP~△AMP~△KMC
cos(ABC) =BP/BC =6/10 =3/5
BP=3x, BC=5x, AP=2x
CP=√(BC^2-BP^2)=4x
AC=√(AP^2+CP^2)=√(4+16)x =2√5x
BM - высота и медиана, AM=AC/2=√5x
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.
S(KBP)/S(ABC) =(BP/AB)^2 =(3/5)^2 =9/25
S(AMP)/S(ABC) =(AM/AB)^2 =(√5/5)^2 =5/25
Понятно, что △AMP=△KMC
S(KMP) =S(ABC)-S(KBP)-2(AMP) =(25-9-10)/25 S(ABC) =6/25 S(ABC) =12
=> S(ABC) =12*25/6 =50
Объяснение:
1. Дано: Окр. О,r;
∠1 = ∠2;
Доказать: ∠ОСВ = ∠ОАВ.
Доказательство:
Рассмотрим ΔСОВ и ΔВОА
ОС = ОВ = ОА = r (радиусы одной окружности)
∠1 = ∠2 (по условию)
⇒ ΔСОВ = ΔВОА (по двум сторонам и углу между ними, 1 признак)
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.⇒ ∠ОСВ = ∠ОАВ
2. Дано: Окр. О,r;
АВ = ВС - хорды;
Доказать: ∠1 = ∠2.
Доказательство:
Соединим точки А и В с центорм окружности.
Рассмотрим ΔАВО и ΔОВС
АВ = ВС (по условию)
ОВ - общая
АО = ОС = r (радиусы одной окружности)
⇒ ΔАВО = ΔОВС (по трем сторонам, 3 признак)
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.⇒ ∠1 = ∠2
