Піраміда чотирикутна правильна, в її основі лежить квадрат, вершина проектується в центр вписаного (описаного) кола
один кінець апофеми - вершина піраміди, другий кінець точка дотику вписаного кола до сторони квадрата
За теоремою Піфагора радіус вписаного кола r=корінь(15^2-12^2)=9 cм
сторона квадрата а=2r=2*9=18 cм
Площа основи (як квадрата) =a^2=18*18=324 кв.см
Бічні грані - рівнобедрені трикутники, основа яких - сторона квадрата 18 см, висота, проведена до основи - апофема піраміди 15 см.
Площа бічної поверхні дорівнює 4*1/2*18*15=540 кв.см
Площа повної поверхні 540+324=864 кв.см
Нехай вершина піраміди S , а вершини трикутника в основі А,В,С
Основа правильної трикутної піраміди - правильний трикутник.
Площа правильного трикутника дорівнює a^2*корінь(3)/4, де а - сторона трикутника
Площа трикутника АВС дорівнює 18^2*корінь(3)/4=81*корінь(3) кв.см
Висота рівнобедреного трикутника є його медіаною і бісектрисою.
Бічні грані правильної піраміди - рівнобедрені трикутники.
За теоремою Піфагора висоти кожного з трикутників SAB, SBC, SAC за теоремою Піфагора дорівнює корінь (SA^2-(AB/2)^2)=корінь(15^2-(18/2)^2)=12 cм
Площа бічної поверхні дорівнює сумі площ бічних граней. (В правильної піраміди вони рівні - і вище згадані рівнобедрені трикутники)
Площа трикутника дорівнює півдобутку основи на висоту, проведену до неї.
Площа бічної грані піраміди дорівнює 3* 1/2*18*12=324 кв.см
Площа повної поверхні=площа бічної+площа основи
Площа повної поверхні = 324+81*корінь(3) кв.см
---
ab₁² = ab² +bb₁²
ab₁² = 2² +2²
ab₁² = 8
ab₁ = 2√2
---
db₁² = db² +bb₁²
db₁² = ab² +ad² +bb₁²
db₁² = 2² + 2² + 2²
db₁² = 12
db₁ = 2√3
---
площадь треугольника b₁ad по формуле Герона
полупериметр
p = 1/2*(2 + 2√2 + 2√3) = 1 + √2 + √3
S² = (1 + √2 + √3)(-1 + √2 + √3)(1 - √2 + √3)(1 + √2 - √3)
S² = ((√2 + √3)² - 1)(1 + √2 - √3 - √2 - 2 + √6 + √3 + √6 - 3)
S² = (2 + 2√6 + 3 - 1)(2√6 - 4)
S² = (2√6 + 4)(2√6 - 4)
S² = (2√6)² - 4²
S² = 4*6 - 16 = 24 - 16 = 8
S = 2√2 см²
Радиус вписанной окружности через площадь и полупериметр
r = S/p = 2√2/(1 + √2 + √3)
Можно попробовать избавиться от иррациональности в знаменателе, но не хочется.