Question

По за 8-й класс. один катет прямоугольного треугольника равен, например, 13 см. как найти периметр. если все стороны целые числа. с нетерпением жду. пусть и мозг попробует. если что обращайтесь, я решу.

Answer 1

Треугольник прямоугольный. Пусть в нём будут катеты а, b, гипотенуза с. По условию а = 13.

Применим  теорему Пифагора:

с² = а² + b²

с² – b² = 13²

По формуле разности квадратов:

(с – b)(с + b) = 169

Тогда произведение двух чисел равно 169.

Рассмотрим, как при произведения двух чисел получить 169.

Возможны два случая:

169 = 13 ∙ 13 или 169 = 1 ∙ 169

Тогда множители могут быть равны 13 и 13; 1 и 169; 169 и 1.

Получаются три случая, три системы уравнений с двумя неизвестными, рассмотрим эти системы:

1)

с – b = 13

с + b = 13

Решим методом сложения:

2с = 26

с = 13, тогда b = 0

Данный ответ не подходит, b – длина стороны треугольника, не может равняться 0.

2)

с – b = 1

с + b = 169

Решим методом сложения:

2с = 170

с = 85

Тогда из первого уравнения: с – b = 1 ⇒ b = с – 1 = 85 – 1 = 84

ответ: стороны треугольника а = 13; b = 84; с = 85.

Для данных сторон выполняется неравенство треугольника, поэтому такой треугольник существует.

3)

с – b = 169

с + b = 1

Такое невозможно для треугольника, так как сумма длин двух сторон любого треугольника всегда будет больше разности длин двух сторон треугольника. А в данном случае получается наоборот - сумма длин меньше разности длин.

Сделаем вывод, что ответ только один: а = 13; b = 84; с = 85.

Найдём периметр: Р∆ = а + b + с = 13 + 84 + 85 = 182