Дан параллелограмм abcd. на стороне ad взята точка m такая, что bm -бисектриса угла b,а cm-биссектриса угла с параллелограмма найдите площадь параллелограмма если bm=12 см cm =16
Биссектрисы углов параллелограмма отсекают от него равнобедренные треугольники (свойство). Точка М - общая точка этих биссектрис на стороне AD. Поэтому АВ=АМ=CD=DM, (так как АВ=СD, как противоположные стороны параллелограмма). Пусть АВ=AM=DM=a. В треугольниках АВМ и DCM по теореме косинусов: 12²=2a²(1-CosA) 16²=2a²(1-CosD). CosD= -CosA, так как Соs(180- α)= -Cosα. Тогда имеем: 144=2a²(1-CosA) (1) 256=2a²(1+CosA) (2). Делим (2) на (1): 16/9=(1+CosA)/(1-CosA) . => CosA=7/25. => SinA=√(1-49/625)=24/25. Из (1) а² = 72/(1-CosА) = 100, а=10. AD=2*AB. Sabcd=AB*AD*SinA = 10*20*24/25=192см².
В прямоугольной трапеции ABCD заданы основания AD = 8 и BC = 2 .Биссектриса прямого угла трапеции пересекает сторону CD в точке K, при этом CK : KD =1: 2 . Найдите площадь трапеции.Биссектриса ВН угла при вершине равнобедренного тр-ка является его высотой и медианой. Прямоугольный тр-к АВН равнобедренный, так как ВН=АН. АВ=3, тогда по Пифагору 2*ВН² =АВ² = 9 и ВН = 3√2/2. Тогда площадь тр-ка АВС Sabc = 0,5*АС*ВН=АН*ВН=ВН² = 18/4 = 9/2.Но эта же площадь равна 0,5*ВС*АК=9/2. Тогда АК = 9/3 =3. Второй вариант решения: Если треугольник АВН - равнобедренный (АН=ВН), то <A=45°. Тогда и <С=45° (так как тр-к АВС - равнобедренный - дано), а <В=90°. Следовательно, высота АК, опущенная на боковую сторону ВС, совпадает со стороной АВ (АВ - катет треугольника АВС) и равна этой стороне, то есть АК = 3. ответ в приложенном рисунке
Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника будет и медианой и высотой... обозначим ее длину (а) получившийся при этом прямоугольный треугольник получится равнобедренным... катеты у него равны: биссектриса = (а) и половина основания тоже (а) в этом прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза = 3 найдем катеты... 2a^2 = 9 ---> a^2 = 4.5 высота, опущенная на боковую сторону, будет в свою очередь и медианой... и опять из нового прямоугольного треугольника по т.Пифагора: x^2 + (1.5)^2 = 4.5 x^2 = 4.5 - 1.5*1.5 = 1.5*(3 - 1.5) = 1.5*1.5 x = 1.5
Точка М - общая точка этих биссектрис на стороне AD.
Поэтому АВ=АМ=CD=DM, (так как АВ=СD, как противоположные стороны параллелограмма).
Пусть АВ=AM=DM=a.
В треугольниках АВМ и DCM по теореме косинусов:
12²=2a²(1-CosA)
16²=2a²(1-CosD). CosD= -CosA, так как Соs(180- α)= -Cosα.
Тогда имеем:
144=2a²(1-CosA) (1)
256=2a²(1+CosA) (2). Делим (2) на (1):
16/9=(1+CosA)/(1-CosA) . => CosA=7/25. => SinA=√(1-49/625)=24/25.
Из (1) а² = 72/(1-CosА) = 100, а=10. AD=2*AB.
Sabcd=AB*AD*SinA = 10*20*24/25=192см².