Есть пирамида АВСДА1В1С1Д1, где АВСД - нижнее основание, О - центр нижнего основания, т.Л - середина стороны СД. Аналогично назовем Л1 и О1 для верхнего основания А1В1С1Д1. Восстановим вершину усеченной пирамиды и назовем ее т.К.
Рассмотрим прямоугольный треугольник КЛО: т.к. КО - катет, лежащий против угла КЛО=30 градусов, то КЛ=2*КО. ОЛ=АД/2=24/2=12. Примем КО за х. Тогда КО^2+ОЛ^2=КЛ^2; х^2+12^2=(2х)^2; х=КО=4*корень из 3; КЛ=8*корень из 3.
Из подобия треугольников КЛО и КЛ1О1:
ОЛ/О1Л1=КО/КО1, отсюда КО1=О1Л1*КО/ОЛ=(20/2)*(4*корень из 3)/12=10/корень из 3
V усеч. = V(КАВСД) - V(КА1В1С1Д1)=S(АВСД)*КО/3- S(А1В1С1Д1)*КО1/3=
=24*24*4*(корень из 3)/3-20*20*(10/корень из 3)/3=2912/(3*корень из 3)
Будем накладывать эти треугольники. Сначала совместим точки A и A' и разместим треугольники так, чтобы лучи AB и A'B', а также лучи AC и A'C' оказали сонаправленными (это можно сделать, т.к. углы при вершине А равны)
Т.к. AB=A'B'; AC=A'C, то точки B и B', а также точки C и С' попарно совпадут. Но тогда совпадут и отрезки BC и B'C' - иначе через 2 точки проходило бы 2 прямые, что невозможно. Что и требовалось доказать.