С! двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен 60 градусам. найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее расстояние от середины высоты пирамиды до ее апофемы равно 3 см.
На картинке прямоугольный треугольник, образованный апофемой как гипотенузой, высотой как вертикальным катетом и радиусом вписанной окружности основания как горизонтальным катетом Половина высоты равна 3*2 = 6 см как гипотенуза малого треугольника с катетом против угла в 30 градусов, равным 3. Значит, вся высота равна 12 см По Пифагору f² = r² + h² (2r)² = r² + 12² r² = 144/3 = 48 r = 4√3 см f = 2r = 8√3 см Основание высота h₁ = 3r (т.к. медианы делятся точкой пересечения как 1 к 2) По Пифагору для половинки основания a² = (a/2)² + (3r)² 3/4*a² = 9r² a² = 12r² a = 2√3*r S₁ = 1/2*a*r = 1/2*2√3*r*r = r²√3 = (4√3)²√3 = 48√3 см² Площадь одной боковой стороны S₂ = 1/2*a*f = 1/2*2√3*4√3*8√3 = 32*3√3 = 96√3 см² И полная площадь S = S₁ + 3S₂ = (48 + 96*3)√3 = 336√3 см²
Длина основания - 6см, длины боковых сторон - 14см. Доказательство от противного - строим произвольный равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и AC. Из вершины А строим высоту AH, которая будет являться так же медианой и биссектрисой. Отсюда получаем, что треугольник ABH=ACH; BH=CH=1/2BC. Предположим, что длина основания BC=14см, то BH=CH=7см, а AB=AC=6см. Найдём синус угла BAH sin(BAH)=BH/AB=7/6>1 Синус угла не может быть больше 1, значит такой треугольник невозможен. Значит основание BC=6см, а стороны AB=AC=14см. Для проверки можем найти синус того же угла при новых условиях, он будет равен sin(BAH)=3/14, это допустимое значение. Значит основание треугольника - 6см, а боковые стороны - 14см.
На рисунке треугольник ABC – равнобедренный (основание треугольника AC). Определите 2, если 1 = 56. 2. Угол , образованный при пересечении прямых n и k, равен 45, а угол , образованный при пересечении прямых m и k равен 135. Определите взаимное расположение прямых n и m. 1. прямые n и m перпендикулярны; 2. прямые n и m пересекаются, но не перпендикулярны; 3. прямые n и m параллельны; 4. такая ситуация невозможна. 3. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Определите, какая из его сторон АВ или ВС больше, если ВМА = 80. 4. Две касающиеся окружности с центрами в точках O и O1 касаются сторон угла A (B и B1 – точки касания). Расстояние между точками A и O1 в два раза меньше, чем расстояние между центрами окружностей. Найдите радиус O1B1, если радиус OВ равен 24 см. 5. В треугольнике ABC углы, прилежащие к стороне AC, равны 30 и 45. Найдите отношение сторон AB и BC. 6. В прямоугольной трапеции АВСD (АВ АD) боковая сторона CD в два раза больше стороны AB. Найдите градусную меру угла ВСD. 7. В четырехугольнике АВСD длины диагоналей АС и ВD равны соответственно 14 см и 18 см соответственно. Найдите периметр четырехугольника EFGH, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника АВСD. 8. В ромб ABCD вписана окружность. Точка касания окружности G делит сторону ромба AB на отрезки AG и GB соответственно равные 2 см и 8 см. Найдите радиус вписанной окружности. 9. Определите, сколько решений имеет следующая задача. Решать задачу не надо. “В треугольнике ABC угол C равен 72, сторона AC равна 53 см, а сторона BC равна 37 см. Найдите сторону AB”. 10. В треугольнике ABC углы BAC и BCA равны 20 и 60 соответственно. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD. 11. Две окружности с центрами в точках O и O1 и равными радиусами пересекаются в точках A и B. Определите вид четырехугольника AO1BO. 1. параллелограмм, отличный от прямоугольника и ромба; 2. прямоугольник; 3. ромб; 4. трапеция. 12. Определите, что больше: боковая сторона или основание равнобедренного треугольника, если один из его углов – тупой. 13. Отрезки AD и ВС пересекаются в точке О и распложены так, что прямые AB и CD параллельны. Известно, что AB = 18 см, CD = 9 см и CO = 6 см. Найдите длину отрезка BС. 14. Углы при основании AD трапеции ABCD равны 60 и 30, AD = 17 см, ВС = 7 см. Найдите СD. 15. Угол между высотами BL и BK параллелограмма АВСD, проведенными из вершины тупого угла, равен 52. Найдите величину угла ВАD. 16. Через точку G, лежащую на основании треугольника АВС, проведены отрезки GF 18. Дана окружность с центром О. По данным рисунка найдите градусную меру угла, обозначенного буквой . 19. В ромб ABCD с острым углом 30 вписана окружность радиуса 3 см. Найдите периметр ромба. 20. Определите, сколько решений имеет следующая задача. Решать задачу не надо. “В треугольнике ABC сторона AB равна 21 см, сторона BС равна 7 см, а угол C равен 33. Найдите сторону AС”. 21. Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена точка D такая, что BAD = BCD = 15. Найдите угол ADC. 22. Прямые BD и AC пересекаются в точке О. В треугольниках BOC и AOD: BC = AD; BCO = OAD. Найдите ВО, если BD = 5 см. 23. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Определите, какая из его сторон ВС или CD меньше, если угол АОВ – острый. 24. В треугольник АВС вписан ромб ADEF так, что они имеют общий угол. Сторона ромба равна 5 см. Найдите сторону АВ треугольника АВС, если сторона AС равна 10 см. 25. Стороны треугольника равны 8 см, 15 см и 16 см. Определите вид этого треугольника. 1. треугольник – остроугольный; 2. треугольник – прямоугольный; 3. треугольник – тупоугольный; 4. такого треугольника не существует. 26. Найдите угол между биссектрисами углов A и B параллелограмма ABCD. 27. Диагонали трапеции ABCD являются биссектрисами ее углов при основании AD. Найдите периметр трапеции, если ее основания равны 12 см и 8 см. 28. Радиусы двух окружностей равны 4 см и 7 см, а расстояние между их центрами равно 12 с
Половина высоты равна 3*2 = 6 см как гипотенуза малого треугольника с катетом против угла в 30 градусов, равным 3.
Значит, вся высота равна 12 см
По Пифагору
f² = r² + h²
(2r)² = r² + 12²
r² = 144/3 = 48
r = 4√3 см
f = 2r = 8√3 см
Основание
высота
h₁ = 3r (т.к. медианы делятся точкой пересечения как 1 к 2)
По Пифагору для половинки основания
a² = (a/2)² + (3r)²
3/4*a² = 9r²
a² = 12r²
a = 2√3*r
S₁ = 1/2*a*r = 1/2*2√3*r*r = r²√3 = (4√3)²√3 = 48√3 см²
Площадь одной боковой стороны
S₂ = 1/2*a*f = 1/2*2√3*4√3*8√3 = 32*3√3 = 96√3 см²
И полная площадь
S = S₁ + 3S₂ = (48 + 96*3)√3 = 336√3 см²