Найти биссектрису большего угла треугольника, если стороны треугольника равны 3см, 4см и 5см. Решение: Треугольник со сторонами 3,4,5 - прямоугольный (египетский). Больший угол прямоугольного треугольника равен 90°. Биссектриса делит сторону, к которой проведена, в отношении прилежащих сторон. Следовательно, она делит гипотенузу в отношении 4:3, т.е. на 7 частей. Пусть биссектриса равна х и разделила треугольник на два со сторонами в каждом: 4; 4*5/7 и х 3; 3*5/7 и х. Для нахождения биссектрисы применим теорему косинусов. Но манипуляции с косинусом 45°=(√2):2 нельзя назвать удобными. Возьмем косинус одного из острых углов 3/5 Тогда стороны меньшего треугольника 3; 15/7 и х( биссектриса) По теореме косинусов х²=9+225/49-6*(15/7)*3/5 х²=288/49=144*2/49 х=(12/7 )*√2 Есть формулы, облегчающие нахождения биссектрисы, (если их знать и помнить). Для биссектрисы из прямого угла это L=√2(ab/(a+b)) где L- биссектриса, a и b - катеты. По этой формуле L=√2*3*4:(3+4)=√2*12/7 При желании можно вычислить, что это составит примерно калькулятору)
Треугольник АВС. Продлим сторону АС за треугольник и обозначим на ней вне треугольника точку Д - получился внешний <ВСД. Биссектриса СМ этого внешнего угла делит его на два равных <ВСМ=<ДСМ. Если по условию АВ||СД, то тогда ВС является секущей к ним. Тогда <АВС=<ВСМ как внутренние накрест лежащие Также секущей к параллельным прямым является и АС, тогда <САВ=<ДСМ как соответственные. Исходя из того, что <ВСМ=<ДСМ, тогда и <АВС=<САВ. Углы при основании равны, значит треугольник АВС равнобедренный (АС=ВС), что и требовалось доказать
a=tg<a*b=tg10°24'*60=0,1835*60=11,01
c=b/sin<b=60/sin79°36'=60/0,9836=61
2. <a=90°-53°8'=36°52'
a=c*sin<a=65*sin36°52'=65*0,5999=38,99
p=c*sin<p=65*sin53°8'=65*0,800=52
3. c=√(a^2+b^2)=√(39^2+80^2)=√(1521+6400)=√7921=89
tg<a=a/b=39/80=0,4875 <a=26°
(sin<a=a/c=39/89=0,4382 <a=26°)
tg<b=b/a=80/39=2,0513 <b=64°
(sin<b=b/c=80/89=0,8989 <b=64°)