Основание высоты правильной пирамиды проецируется в центр описанной вокруг основания пирамиды окружности.
Обозначим пирамиду МАВСD, МО - высота, О - центр описанной окружности= точка пересечения диагоналей квадрата.
АС =8√2 ( по формуле диагонали квадрата).
МО перпендикулярна основан, ⇒ перпендикулярна каждой прямой, проходящей в плоскости АВСD через О.
∆ МОС - прямоугольный.
OC=4√2
По т.Пифагора МС=√(MO²+CO*)=√(49+32)=9
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее граней, которые являются равнобедренными треугольниками,
иначе
Площадь боковой поверхности - произведение апофемы на полупериметр основания.
Высота МН грани ( апофема) является медианой и делит ВС пополам. По т.Пифагора
МН=√(MB²-BH*)=√(81-16)=√65
S=h•MH=16•√65=16√65 (ед. площади)
p = (13 + 14 + 15)/2 = 21 см
Площадь по формуле Герона
S² = 21*(21-13)*(21-14)*(21-15)
S² = 21*8*7*6 = 3*7²*2²*2*6 = 7²*2²*6²
S = 7*2*6 = 84 см²
Площадь через радиус описанной окружности
S = abc/(4R)
R = abc/(4S)
R = 13*14*15/(4*84) = 13*7*15/(4*42) = 13*7*5/(4*14) = 13*5/(4*2) = 65/8 см
R = 65/8 см