∠АОВ и ∠COD вертикальные,
∠ВОС и ∠AOD вертикальные.
Проведем:
ОЕ - биссектрису ∠АОВ,
OF - биссектрису ∠СOD,
OK - биссектрису ∠BOC,
OM - биссектрису ∠AOD.
Сначала докажем, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
∠ВОА и ∠ВОС смежные, значит их сумма равна 180°:
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°
Биссектрисы разбили эти углы на пары равных углов:
∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4, значит
2 ·∠2 + 2 ·∠3 = 180°
2(∠2 + ∠3) = 180°
∠2 + ∠3 = 90°, значит
ОЕ⊥ОК.
∠СОВ и ∠COD смежные, значит и их биссектрисы пересекаются под прямым углом:
OF⊥OK.
Углы ЕОК и FOK имеют общую сторону ОК и составляют в сумме 180°, значит они смежные, следовательно стороны ОЕ и OF являются дополнительными лучами, т.е. лежат на одной прямой.
Что и требовалось доказать.
75 см²
Объяснение:
Прямоугольные треуг-ки ВНС и АН1С подобны по первому признаку подобия: два угла одного треуг-ка соответственно равны двум углам другого. В нашем случае углы АН1С и ВНС прямые, а угол С - общий. Для подобных треугольников можно записать отношение сходственных сторон:
ВН:АН1=10:12, k=5/6, СН:СН1=5:6, отсюда
CH1=6CH:5
В прямоугольном треуг-ке АН1С по теореме Пифагора находим АС:
АС²=AH1²+CH1²
Т.к. в равнобедренном треуг-ке АВС высота ВН, проведенная к основанию, является также и медианой, то СН=1/2АС, и выражение CH1=6CH:5 примет такой вид:
СН1=3АС:5.
Это значение для СH1 будем использовать в вычислении по теореме Пифагора:
АС²=12² + 9AC²/25
AC² - 9AC²/25=144
16AC²=3600
AC² = 225
AC=15 см
S ABC = 1/2AC*BH=7,5*10=75 см²
