Question

Участок в форме прямоугольника площадью 2 га огорожен забором найдите стороны участка имеющий наименьший периметр

Answer 1

ответ: квадрат со стороной √2 м.

Объяснение:

Пусть одна сторона прямоугольника равна х>0, а вторая - у>0. Площадь прямоугольника S = xy = 2 откуда y = 2/x. Рассмотрим функцию:

$P(x)=2(x+y)=2\left(x+\frac{2}{x}\right)=2x+\frac{4}{x}$

$P'(x)=\left(2x+\frac{4}{x}\right)'=(2x)'+\left(\frac{4}{x}\right)'=2-\frac{4}{x^2}\\ \\ P'(x)=0;~~~ 2-\frac{4}{x^2}=0~~|\cdot 0.5x^2\ne 0~~~~\Longleftrightarrow~~~~ x^2-2=0\\ \\ x=\pm\sqrt{2}$

Отрицательный корень x = -√2 не подходит условию;

(0)___-_____(√2)____+______

Производная функции в точке x = √2 меняет знак с (-) на (+), значит $x_{\min}=\sqrt{2}$ м

$y=\dfrac{2}{x}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ м

Answer 2

Одна сторона прямоугольника равна х,  х>0,  вторая у, у>0. Площадь прямоугольника S = xy = 2 откуда y = 2/x. Рассмотрим функцию:

P(x)=2х+2у=2х+2*2/х=2х+4/х

Найдем производную этой функции, приравняем к нулю, получим критические точки

2-(4/х²)=0, откуда 4-2х²=0

х²≠0, х=±√2

Поскольку отрицательный корень x = -√2 не подходит по смыслу задачи, то берем критическую точку х=√2, разбиваем ею числовую ось и проверяем, какие знаки принимает производная на интервалах (0;√2);(√2;+∞)

(0)___-(√2)+

Производная функции при переходе через  точку x = √2 меняет знак с минуса на плюс, поэтому х=√2 - точка минимума функции.

у=2/√2=√2

А наименьший периметр прямоугольника будет равен 4√2, если обе стороны равны √2, т.е. когда прямоугольник превратится в квадрат.