На чертеже точки касания N и N1 изображены совпадающими, но это еще надо доказать. Поэтому СНАЧАЛА я не считаю их совпадающими. То есть окружность O1 касается AC в точке N, а окружность O2 - в точке N1 (слова "с центром" дальше буду опускать, если и так ясно). Для треугольника ABC точки касания с O1 делят стороны на три отрезка AN, CN и еще один (точнее, два равных) из вершины B. Я обозначу его например буквой x. Тогда очевидно AN + CN = AC; AN + x = AB; CN + x = BC; Если вычесть из второго третье, получится AN - CN = AB - BC; если теперь сложить это с первым, то AN = (AC + AB - BC)/2; Точно так же для треугольника ACD получается AN1 = (AC + AD - CD)/2; и нигде не предполагается, что AN = AN1; это надо доказать. Весь четырехугольник ABCD является ОПИСАННЫМ, то есть AD + BC = AB + CD; или AD - CD = AB - BC; или AC + AD - CD = AC + AB - BC; то есть AN = AN1, и точки N и N1 совпадают, это просто одна точка N. Последствия этого очень велики. :) Окружности O1 и O2 касаются, AC является общей касательной, проведенной в точке касания N окружностей O1 и O2, и линия центров O1O2 перпендикулярна AC. Важно! - пока нигде не использовано, что ABCD - трапеция! Этот результат справедлив для любого выпуклого описанного четырехугольника. Поэтому (см. чертеж) ∠KO1O2 = ∠CAD (стороны углов перпендикулярны), и треугольники KO1O2 и ACP подобны. CP - высота трапеции. Она равна CP = 2R = 40; сумма радиусов окружностей равна O1O2 = 25; отсюда легко найти KO1 = 40 - 25 = 15; получился "египетский" треугольник :) то есть KO2 = 20; Ну, и из подобия KO1O2 и ACP AC = 50 (поскольку СP = 2*KO2 :) )
Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен углу между образующей и радиусом основания, проведенного к данной образующей. Площадь боковой поверхности конуса: pi*R*l, площадь основания - pi*R^2. Поскольку площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания, то pi*R*l = 2*pi*R^2. упрощаем уравнение: l = 2R. Из рисунка CB = 2OB. Из прямоугольного треугольника COB: угол, который лежит против катета, который в два раза меньше гипотенузы, равен 30 градусов. OB - катет, CB - гипотенуза, следовательно, угол BOC = 30 градусов. Искомый угол CBO = 90 - 30 = 60 градусов.
2a^2=c^2
2*(10sqrt (2))=c^2
c^2=400
c=20