Вправильной четырехугольной усечённой пирамиде стороны основания равны 10 и 22, а диагональ равна 24. найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды
--- 1 --- рассмотрим сечение пирамиды в вертикальной плоскости через диагонали верхнего и нижнего оснований Сечение представляет из себя равностороннюю трапецию, верхнее основание которой по т. Пифагора d₁ = √(10² + 10²) = 10√2 Нижнее основание d₂ = √(22² + 22²) = 22√2 Проекция бокового ребра z пирамиды на плоскость основания - w w = (d₂ - d₁)/2 = (22√2 - 10√2)/2 = 12√2/2 = 6√2 найдём высоту пирамиды h h² + (d₂ - w)² = d² h² + (22√2 - 6√2)² = 24² h² + (16√2)² = 24² h² + 256*2 = 576 h² = 64 h = 8 И боковое ребро пирамиды z² = w² + h² z² = 36*2 + 64 = 72 + 64 = 136 z = √136 = 2√34 --- 2 --- Теперь рассмотрим боковую грань пирамиды Это тоже равносторонняя трапеция, её основания 22 и 10, боковые стороны z = 2√34 проекция боковой стороны на основание (22-10)/2 = 6 высота по Пифагору √((2√34)² - 6²) = √(136-36) = √100 = 10 Площадь S = 1/2(10 + 22)*10 = 160 Таких боковых сторон 4 ответ S = 4*160 = 640
Медиана из вершины треголника делит противоположную сторону (основание) пополам. Высота из этого же угла перпендикулярна основанию. Треугольники, образовавшиеся при проведении высоты и медианы прямоугольные. У этих треугольников катеты образованные высотой и медианой равны. Катеты образованные делением основания медианой то же равны. Если катеты одного треугольника равны катетам другого треугольника, то такие треугольники равны. А значит боковые стороны исходного треугольника равны. Исходный треугольник равнобедренный.
Медиана из вершины треголника делит противоположную сторону (основание) пополам. Высота из этого же угла перпендикулярна основанию. Треугольники, образовавшиеся при проведении высоты и медианы прямоугольные. У этих треуголников катеты образованные высотой и медианой равны. Катеты образованные делением основания медианой то же равны. Если катеты одного треугольника равны катетам другого треугольника, то такие треугольники равны. А значит боковые стороны исходного треугольника равны. Исходный треугольник равнобедренный.
рассмотрим сечение пирамиды в вертикальной плоскости через диагонали верхнего и нижнего оснований
Сечение представляет из себя равностороннюю трапецию, верхнее основание которой по т. Пифагора
d₁ = √(10² + 10²) = 10√2
Нижнее основание
d₂ = √(22² + 22²) = 22√2
Проекция бокового ребра z пирамиды на плоскость основания - w
w = (d₂ - d₁)/2 = (22√2 - 10√2)/2 = 12√2/2 = 6√2
найдём высоту пирамиды h
h² + (d₂ - w)² = d²
h² + (22√2 - 6√2)² = 24²
h² + (16√2)² = 24²
h² + 256*2 = 576
h² = 64
h = 8
И боковое ребро пирамиды
z² = w² + h²
z² = 36*2 + 64 = 72 + 64 = 136
z = √136 = 2√34
--- 2 ---
Теперь рассмотрим боковую грань пирамиды
Это тоже равносторонняя трапеция, её основания 22 и 10, боковые стороны z = 2√34
проекция боковой стороны на основание
(22-10)/2 = 6
высота по Пифагору
√((2√34)² - 6²) = √(136-36) = √100 = 10
Площадь
S = 1/2(10 + 22)*10 = 160
Таких боковых сторон 4
ответ
S = 4*160 = 640