Тема 14
Вектор - це напрямлений відрізок, тобто відрізок, який має довжину і певний напрямок. Графічно вектори зображуються у вигляді напрямлених відрізків прямої певної довжини.
Довжина напрямленого відрізка визначає числове значення вектора і називається довжиною вектора або модулем вектора AB.
Для позначення довжини вектора використовують дві вертикальні лінії зліва і справа |AB|.
Вектори, паралельні одній прямій або які лежать на одній прямій називають колінеарними векторами
Два колінеарних вектора a і b називаються Співнаправленими векторами, якщо їх напрямки співпадають: a↑↑b
Додавання векторів (сума векторів) a + b - це операція знаходження вектора c, всі елементи, якого дорівнюють попарній сумі відповідних елементів векторів a і b, тобто кожен елемент вектора c дорівнює:
с = a + b(це вектори, просто додаються)
Властивості:
Формули додавання і віднімання векторів для плоских задач
У випадку плоскої задачі суму та різницю векторів a = {ax ; ay} і b = {bx ; by} можна знайти скориставшись наступними формулами:
a + b = {ax + bx; ay + by}
a - b = {ax - bx; ay - by}
Формули додавання і віднімання векторів для просторових задач
У випадку просторової задачі суму та різницю векторів a = {ax ; ay ; az} і b = {bx ; by ; bz} можна знайти скориставшись наступними формулами:
a + b = {ax + bx; ay + by; az + bz}
a - b = {ax - bx; ay - by; az - bz}
Формули додавання і віднімання n -вимірних векторів
У випадку n -вимірного простору суму та різницю векторів a = {a1 ; a2 ; ... ; an} і b = {b1 ; b2 ; ... ; bn} можна знайти скориставшись наступними формулами:
a + b = {a1 + b1; a2 + b2; ... ; an + bn}
a - b = {a1 - b1; a2 - b2; ... ; an - bn}
Скалярним добутком двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює добутку модулів цих векторів помноженому на косинус кута між ними:
a · b = |a| · |b| cos α(над векторами ще мають бути рисочки, просто в мене не виходить написати)
Скалярним добутком(інше визначення) двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює сумі попарного добутку відповідних координат векторів a і b.
Властивості скалярного добутку векторів
Скалярний добуток вектора самого на себе завжди більше або дорівнює нулю:
a · a ≥ 0
Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор дорівнює нульовому вектору:
a · a = 0 <=> a = 0
Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля:
a · a = |a|2
Операція скалярного добутку комутативна:
a · b = b · a
Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні:
a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b
(αa) · b = α(a · b)
Операція скалярного добутку дистрибутивна:
(a + b) · c = a · c + b · c
Проекцією вектора AB на вісь l називається число, що дорівнює величині відрізку AlBl вісі l, де точки Al і Bl є проекціями точок A і B на вісь l.
Проекцією вектора a на напрямок вектору b , називається число, яке дорівнює величині проекції вектора a на вісь, що проходить через вектор b.
Малюнок прикріплено)
Тема 15
Система координат б задання точок простору за до чисел. Кількість чисел, необхідних для однозначного визначення будь-якої точки простору, визначає його вимірність. Ці числа називають координатами. Координати на площині і в тривимірному просторі можна задавати багатьма різними
Малюнок прикріплено)
Формула для знаходження відстані між двома точками прикріплена)
Рівняння прямої і кола також прикріплено)
По условию дана равнобедренная трапеция, пусть а, b - основания трапеции, где большее основание а = 39 cм; с, d - её боковые стороны. По условию с = d = 25 см, диагональ трапеции D = 40 cм.
Диагональ делит трапецию на два треугольника. Рассмотрим один из них, стороны которого образованы нижним основанием трапеции, боковой стороной и диагональю, и равны 39 см, 25 см, 40 см соответственно.
Найдем площадь данного треугольника по формуле Герона:
S = √р (р - а) (р - b) (p - c), где р - полупериметр, а,b,с - стороны треугольника
р = 1/2 (39 + 40 +25) = 1/2 · 104 = 52 см
S = √52 (52 - 39) (52 - 40) (52 - 25) = √52·13·12·27 = √219024 = 468 см²
Найдем длину высоты трапеции через сторону и площадь:
S = 1/2аh; h = 2S/а = 2 · 468/39 = 24 см
ответ: 24 см
Её высота H = SO - высота пирамиды.
H = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см.
Находим второй катет основания: он равен 5/cos 30 = 5√3 см.
Площадь основания So = (1/2)*5*5√3 = (25√3/2) см².
Тогда V = (1/3)SoH = (1/3)*(25√3/2)*12 = 50√3 см³.