Сторона описанного правильного треугольника на √6 больше стороны правильного четырёхугольника, вписанного в ту же окружность. Найти сторону треугольника.
Правильный четырехугольник - квадрат, и диаметром окружности, в которую он вписан, является его диагональ.
Обозначим вписанный квадрат КОМН
Пусть его стороны=а.
Тогда диаметр РН описанной вокруг него окружности равен а√2,
радиус ОН=а√2):2=a/√2
Стороны описанного треугольника АВС=а+√6
Радиус ОН вписанной в него окружности =ВН/3
ВН=АВ*sin 60º=√3*(а+√6):2
OH=√3*(а+√6):6
Приравняем оба значения ОН:
a/√2=√3*(а+√6):6 из чего следует
а=(а+√6):√6⇒
a=√6:(√6-1)
АВ=[√6:(√6-1)]+√6
АВ=(√6+6-√6):(√6-1)=6:(√6-1)
Знайти S(АМСD).
ΔАВМ. ВМ²=АМ²-АВ²=169-144=25. ВМ=√25=5.
ΔВСD. ВС²=ВD²-СD²=400-144=256. ВС=√25=16.
МС=ВС-ВМ=16-5=11.
АМСD- трапеція. S(АМСD)=0,5(МС+АD)·СD=0,5(11+16)12=162 ед².