Доказываем, что треугольник BАK равнобедренный и прямоугольный. Т.к. биссектриса делит угол пополам, то прямой ∠ ABC (90°) будет разделен пополам и будет образовывать угол ∠ABК = 45° Соответственно ∠AКВ будет также 45°:
∠AКВ =180° - (∠ ABК + ∠ ВАК ). Треугольник BАK является равнобедренным, т.к. имеет прямой ∠ ВАК (т.к. по условию АВСD прямоугольник), а в основании два равных угла по 45° (∠ ABК и ∠AКВ). Соответственно катет АВ=АК=5 см.
далее находим площадь прямоугольника S=АВ*(АК+КD)=5*(5+7)= 60 см
Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = ax · bx + ay · by = 4 · (-7) + 5 · (-5) + (-2) · (-4) = (-28) + (-25) + 8 = -45.
Вычислим длины обоих векторов:
|a| = √(a²x+ a²y+ a²z) = √(4² + 5² + (-2)²) = √(6 + 25 + 4) = √45 = 6,7082,
|b| = √(b²x+ b²y+ b²z) =√((-7)² + (-5)²) + (-4)²) = √(49 + 25 + 16) = √90 = 9,4868.
Подставим длины векторов и их скалярное произведение в формулу:
cos(α) = (a · b )/(|a| · |b|) = -45 /(√45 · √90 ) = -0,7071 .
cos(α) = -0,7071,
α ≈ 2,3562 рад. ≈ 135°.