Чертеж к решению - во вложении.
Т.к. О - центр вписанной в ΔАВС окружности, то О - точка пересечения биссектрис углов ΔАВС. Значит, АО и ВО - биссектрисы.
Т.к. О1 - центр внеписанной окружности то О1 - точка пересечения биссектрис внешних углов ΔАВС. Значит, АО1 и ВО1 - биссектрисы.
Пусть α - величина внешнего угла ΔАВС при вершине А, тогда (180°-α) - величина внутреннего угла ΔАВС при вершине А, т.к. эти углы - смежные.
Тогда
Аналогично, 
Рассмотрим четырехугольник АОВО1.
У него сумма противолежащих углов А и В равна 90°+90° = 180°.
Т.к. сумма всех углов этого выпуклого четырехугольника равна 360°, то сумма двух других противолежащих при вершинах О и О1 также равна 180°.
Таким образом, воспользуемся утверждением: если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Делаем вывод, точки А, В, О и О1 лежат на одной окружности.
Доказано.
Х - собственная скорость катера
у - скорость течения
х+у - скорость по течению
х-у - скорость против течения
Составим систему:
6(х+у)=9(х-у)
3(х+у)+5(х-у)=76
6х+6у=9х-9у (сократим на 3)
3х+3у+5х-5у=76
6х+6у=9х-9у (сократим на 3)
3х+3у+5х-5у=76
2х+2у=3х-3у
8х-2у=76 (сократим на 2)
2у+3у=3х-2х
4х-у=38
х=5у (подставим во второе ур-ие)
4*5у-у=38
20у-у=38
19у=38
у=38:19
у=2 (км/ч) скорость течения
х=5у=5*2=10 (км/ч) скорость лодки
ответ: собственная скорость равна 10 км/ч, а скорость течения реки равна 2 км/ч
Объяснение:
Если малость схитрить, то можно выбрать удобный частный случай и решить для него. Например, для прямоугольного треугольника ABC с прямым углом у вершины B. Тогда три искомые описанные окружности будут иметь диаметры равные длинам сторон этого треугольника: 7 (меньший катет) , 14 (гипотенуза) и 14*корень(3)/2 (больший катет). В сумме диаметры составят 7*(3+корень(3)), а сумма радиусов будет вдвое меньше.
Но это, конечно, фейковое решение основанное на уверенности в том, что условие правильное и задача однозначно решается.