В окружность вписан квадрат со стороной 9 корней из 2 см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.
ответ:18√3 (см)
Объяснение:
Диаметром окружности, описанной около квадрата, является его диагональ. Точкой пересечения диагоналей квадрат делится на 4 равнобедренных прямоугольных треугольника, гипотенузы которых - стороны квадрата, а острые углы 45°. => r=9√2•sin45°=9
Центры окружностей, вписанных и описанных около правильного треугольника, совпадают ( это точка пересечения биссектрис, которые в то же время являются его срединными перпендикулярами).
Радиус вписанной в правильный треугольник окружности находят по формуле r=a:2√3 , где а - сторона правильного треугольника. =>
a=r•2√3
a=9•2√3=18√3 (см)
Сторона равна 6√2 ед.
Объяснение:
Принимаем такое условие: "Найти сторону равностороннего треугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 4√(3/2)", так как в противном случае было бы: "Найти сторону равностороннего треугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 2√3.
В равностороннем треугольнике центр описанной окружности лежит на медиане, которая делится этим центром в отношении 2:1, считая от вершины. В равностороннем треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают. Следовательно, радиус описанной окружности нашего треугольника равен 2/3 высоты. Тогда высота равна 4√(3/2):(2/3) = 6√(3/2).
Пусть сторона треугольника равна 2х. По Пифагору:
(2х)² -х² = (6√(3/2))² => 3x²= 54 => х = 3√2 ед.
Сторона треугольника равна 6√2 ед.
Проверим формулой для правильного треугольника:
R = (√3/3)·a => a = R√3. В нашем случае:
а = 4√(3/2)·√3 = 12/√2 = 6√2 ед.
