Объяснение:
Треугольник FAC и его ортоцентр - это центр вписанной окружности треугольника ABC
Объяснение: Автор задания не совсем удачно обозначил центры вписанной и описанной окружностей. Обычно центр вписанной окружности - это точка I, центр описанной - точка O.
С разрешения автора буду считать, что центр вписанной окружности - это I. Кстати, картинка не совсем удачная. Дело в том, что, как известно, на одной прямой (прямой Эйлера) находятся центр O описанной окружности, центроид (то есть точка G пересечения медиан) и ортоцентр H. Центр же вписанной окружности лежит на этой прямой только если треугольник равнобедренный. Перехожу к решению.
Каждый из углов тр-ка ABC будем обозначать одной буквой - A, B, C. Значок градуса будем опускать. Из равнобедренного тр-ка EAC имеем: угол ECA=90-(A/2); из равноб. тр-ка ACD имеем: CAD=90-(C/2). Поэтому AFC=(A+C)/2. I лежит на биссектрисе угла BAC, то есть IAC=A/2, откуда DAI=DAC-IAC=90-(A+C)/2. То есть AFC+FAI=90, откуда AI перпендикулярно FC. Аналогично CI перпендикулярно AF. Следовательно, центр вписанной окружности треугольника ABC является по совместительству - ортоцентром треугольника FAC.
АС может быть биссектрисой только угла С.
В этом случае треугольник АDC равнобедренный , AD = CD = 10 см.
Угол D находим по теореме косинусов.
cos D = (10² + 10² - 16²)/(2*10*10) = (100 + 100 - 256)/200 = -56/200 = -7/25 = = -0,28.
∠D = arc cos(-0,28) = 106,2602°.
∠C = 180° - ∠D = 180° - 106,2602° = 73,7398°.
Половина угла С равна 73,7398/2 = 36,8699°.
cos (∠C/2) = 0,8.
Сторону АВ найдём по теореме косинусов.
АВ = √(8² + 16² -2*8*16*0,8) = √115,2 ≈ 10,73313.
Угол В тоже по теореме косинусов:
cos B = (64+115,2-256)/(2*8*√115,2) = -76,8 / 193,1962733 = -0,397523196 ∠B = arc cos(-0,397523196) = 1,979612347 радиан = 113,42343°.
∠А = 180° - 113,42343° = 66,57657°.