Гострий кут рівнобічної трапеції дорівнює 60°, а більша основа більша за бічну сторону на 10 см. знайти меншу основу трапеції, якщо ії діагональ дорівнює 14 см.
Дано: чотирикутник ABCD - рівнобічна трапеція (AB = CD); ∠BAD = 60°, BD = 14 см.
Знайти: BC - ?
Розв'язання. Нехай х см - довжина більшої основи (AD) трапеції. Тоді (х - 10)см - довжина бокової сторони трапеції (AB). Скористаємося теоремою косінусів - твердженням про властивість довільних трикутників, що є узагальненням теореми Піфагора.
BD² = AD² + AB² - 2 × AD × AB × cos∠BAD
14² = x² + (x - 10)² - 2 × x × (x - 10) × cos60°
196 = x² + x² - 20x + 100 - 2(x² - 10x) × 1/2
196 = x² - 10x + 100
x² - 10x - 96 = 0
Скористаємося теоремою Вієта:
х₁ + х₂ = 10
х₁ × х₂ = -96
x₁ = -6 (не задовольняє умові задачі); x₂ = 16
Тоді АD = 16 см, а AB = 16 - 10 = 6 см.
Для того, щоб знайти меншу основу рівнобічної трапеції проведемо дві висоти ВК та СМ з точок В і С відповідно (див. рисунок). Вони утворюють прямокутник, у якого менша основа трапеції ВС дорівнює відрізку КМ, який належить більшій основі AD.
KM = AD - AK - MD = AD - 2AK (тому що AK = MD).
Щоб знайти відрізок АК, розглянемо трикутник АВК (∠AKB = 90°):
Запишем уравнение окружности в стандартном виде, для этого (х²+2х) и (у²+4у) дополним до полного квадрата суммы 2-х членов: x^2+y^2+2x+4y-4=(х² +2х+1)+ (у²+ 4у+ 4)-9= (х+1)² +(у+2)² -9 (х+1)² +(у+2)² -9=0 (х+1)² +(у+2)² =9 (х+1)² +(у+2)² =3² - уравнение окружности с центром (-1;-2) и радиусом 3. Постройте на координатной плоскости окружность, затем построй те прямые: у=1-х и у=х+2. Из центра окружности проведите перпендикуляры на данные прямые и на их продолжении отметьте точки симметричные центру окружности соответственно (3;2); (-4;1) -центры окружностей симметричных данной. (х-3)² +(у-2)²= 9 (х+4)² +(у-1)²= 9
<CED=<EDA как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых AD и ВС секущей ED. Но по условию <EDA=<СDЕ, значит <CED=<СDЕ, и треугольник ECD - равнобедренный, т.к. углы при его основании ED равны. Значит ЕС=CD=36 <BEA=<EAD как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых ВС и AD секущей АЕ. Но по условию <BAE=<EAD, значит <BEA=<BAE, и треугольник АВЕ - равнобедренный, т.к. углы при его основании АЕ равны. Значит АВ=ВЕ=36 ВС=ВЕ+ЕС=36+36=72
Дано: чотирикутник ABCD - рівнобічна трапеція (AB = CD); ∠BAD = 60°, BD = 14 см.
Знайти: BC - ?
Розв'язання. Нехай х см - довжина більшої основи (AD) трапеції. Тоді (х - 10)см - довжина бокової сторони трапеції (AB). Скористаємося теоремою косінусів - твердженням про властивість довільних трикутників, що є узагальненням теореми Піфагора.
BD² = AD² + AB² - 2 × AD × AB × cos∠BAD
14² = x² + (x - 10)² - 2 × x × (x - 10) × cos60°
196 = x² + x² - 20x + 100 - 2(x² - 10x) × 1/2
196 = x² - 10x + 100
x² - 10x - 96 = 0
Скористаємося теоремою Вієта:
х₁ + х₂ = 10
х₁ × х₂ = -96
x₁ = -6 (не задовольняє умові задачі); x₂ = 16
Тоді АD = 16 см, а AB = 16 - 10 = 6 см.
Для того, щоб знайти меншу основу рівнобічної трапеції проведемо дві висоти ВК та СМ з точок В і С відповідно (див. рисунок). Вони утворюють прямокутник, у якого менша основа трапеції ВС дорівнює відрізку КМ, який належить більшій основі AD.
KM = AD - AK - MD = AD - 2AK (тому що AK = MD).
Щоб знайти відрізок АК, розглянемо трикутник АВК (∠AKB = 90°):
cosα = AK/AB ⇒ AK = AB × cosα = 6 × 1/2 = 3 (cм)
Отже, KM = AD - 2AK = 16 - 2 × 3 = 10 (см) = BC
Відповідь: ВС = 10 см.