Медианы АМ и СК треугольнике АВС перпендикулярны. Найти стороны треугольника, если АМ= 9, СК= 12. Решение: Медианы треугольника точкой пересечения О делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Дано: АМ=9, СК=12. Значит АО=9*(2/3)=6, ОМ=3, СО=12*(2/3)=8, ОК=4. В прямоугольном треугольнике АОС (угол АОС=90° - дано) гипотенуза АС по Пифагору равна АС=√(АО²+ОС²) или АС=√(6²+8²)=10. В прямоугольном треугольнике АОК (угол АОК=90° - дано) гипотенуза АК по Пифагору равна АК=√(АО²+ОК²) или АК=√(6²+4²)=2√13. АВ=2*АК, так как СК - медиана. АВ=4√13. В прямоугольном треугольнике СОМ (угол СОМ=90° - дано) гипотенуза СМ по Пифагору равна СМ=√(ОМ²+ОС²) или СМ=√(3²+8²)=√73. ВС=2*СМ, так как АМ - медиана. ВС=2√73. ответ: стороны треугольника равны АС=10; АВ=4√13≈14,4; ВС=2√73≈17.
Проверка: Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольника. Площадь одного из них равна Saok=(1/2)*6*4=12. значит Sabc=6*12=72. В то же время по Герону Sabc=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр треугольника, а,b,c - его стороны. Полупериметр равен: р=(2√73+4√13+10)/2=(√73+2√13+5). Подставим найденные значения в формулу: Sabc=√[(√73+(2√13+5))*(2√13+5-√73)*(√73+(5-2√13))*(√73-(5-2√13))]= √[((2√13+5)²-73)*(73-(5-2√13)²)]=√[(52+25+20√13-73)*(73-25+20√13-52)]= √[(20√13+4)*(20√13-4)]=√(5200-16)=72. Итак, стороны треугольника найдены правильно.
task/24836913 ---.---.---.---.--- Дан острый угол с вершиной в точке О и точка M внутри этого угла, не лежащая на биссектрисе этого угла. Найти на сторонах угла точки A и B такие, что периметр треугольника MAB- наименьший (метод симметрии) ---------------------------------------- Решение : Условия "не лежащая на биссектрисе этого угла" не существенно Построим точки M₁ и M₂ симметричные M относительно сторон угла (a и b соответственно ). Прямая M₁M₂ пересекает стороны a и b угла O в точках A и B . ΔMAB искомый. Действительно,периметр ΔMAB : P=MA+AB + MB =M₁A+AB + M₂B =M₁M₂. Периметр же любого другого треугольника, например, ΔMXY : P₁=MX+AB+ MY = M₁X+AB + M₂Y || длина ломаной M₁XYM₂|| >M₁M₂= P.
