Question

Впрямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известны ребра: ab=8, ad=6, aa1=2√3. точки e и f служат серединами ребер ab и bc. найдите расстояние от точки d1 до прямой ef. ответ: 2√399/5

Answer 1

   Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда равны и перпендикулярны основанию, поэтому перпендикулярны любой прямой в его плоскости.=> DD1⊥DH, DD1=AA1=2√3.

  Расстояние от точки до прямой равно длине  перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой. Искомое расстояние –  длина перпендикуляра D1H. Треугольник DD1Н прямоугольный. По т.Пифагора D1H=√(DD1²+DH²)

  По условию АЕ=ВЕ=8:2=4, CF=BF=6:2=3  Продлим ЕF в обе стороны до пересечения с продолжениями DА и DС  в точках К и М соответственно. Прямоугольные ∆ АКЕ =∆ ВЕF равны по катету (АЕ=ВЕ) и острому углу при Е ( вертикальные). Аналогично ∆ ВЕF=∆ EMF (CF=DF,  вертикальные острые углы при D равны). Следовательно, АК=FB=3, СМ=ВЕ=4, и в ∆ KDM  катеты DK=AD+AK=9, DM=DC+CM=12.

   DН пп ЕF, => по т. о 3-х перпендикулярах DH пп EF и является высотой прямоугольного треугольника KDM.

Из площади прямоугольного треугольника S=KD•DM:2=DH•KM:2 следует DH=KD•MD:KM

По т.Пифагора КМ=√(KD²+DM²)=√(9²+12²)=15

DH=√(9•12:15)=7,2

D₁H=√[(2√3)*+(7,2)*]=√(6384/100)=(4√399):10= $2\frac{ \sqrt{399} }{5}.$