Точка D выбирается так, что
угол BDA = угол CBA; Обозначим его за Ф.
тогда в треугольниках АВС и ABD все углы попарно равны;
Сторона АВ в ABD соответствует стороне АС в АВС - это видно из соответствия углов и сторон;
Поэтому ABD имеет все линейные размеры в 3/2 раза больше (его стороны равны 3; 4,5; 6). То есть BD = 6.
Отсюда, кроме того, DC = 2,5.
Надо вычислить длину медианы DM в треугольнике BDC.
См чертеж. Из достроенного тр-ка CDD1 (СD1 II BD) по теореме косинусов
(2*m)^2 = x^2 + z^2 + 2*x*z*cosФ;
А из тр-ка BDC
y^2 = x^2 + z^2 - 2*x*z*cosФ; здесь y = ВС.
Складываем, и получаем выражение для квадрата медианы через квадраты сторон :)))
m^2 = (2*x^2 + 2*z^2 - y^2)/4; Подставляем x = 6, y = 4, z = 2,5.
получаем
m = корень(30)*3/4
Я добавил чертеж, поясняющий, как строится треугольник BDA
В прикрепленном файле показан "вид сверху" на прямоугольник MNBA. Треугольник АВС наклонен (вершина С БЛИЖЕ к нам, чем плоскость прямоугольника) Размеры взяты в скобки, потому что соответствуют наклонным отрезкам. Рядом показан вид сбоку, на треугольник ВСМ.
Задачка упрощается благодаря тому, что 5,12,13 - пифагоровы числа, то есть АВС - прямоугольный тр-к, то есть проекция С1 лежит на BN (я сразу так и нарисовал). Нам надо найти угол СВМ в треугольнике СВМ, это и будет искомый двугранный угол (плоскость СВМ перпендикулярна АВ, потому что АВС - прямоугольный треугольник, а МВ - по условию, MNBA - прямоугольник).
Но СВМ - тоже прямоугольный треугольник (стороны 9, 12 и 15, опять пифагоровы числа). Поэтому, сразу ответ -
arcsin(3/5)
Если бы С1 не попадала на сторону ВМ, и если бы СМВ тоже не был бы прямоугольным, задача усложнялась бы, но не так, чтобы очень :) - всё сводилось бы к применению теоремы косинусов в двух треугольниках с заданными сторонами.
