Поскольку сумма углов треугольника равна 180o, то можно считать, что данные углы противолежат вершине, из которой проведена данная медиана.
Пусть в треугольнике ABC известны углы $ \angle$B = $ \beta$ и $ \angle$C = $ \gamma$ и медиана AD = ma, проведённая к стороне BC. На продолжении отрезка AD за точку D возьмём точку A1 так, что DA1 = AD. В треугольнике AA1B известна сторона AA1 = 2ma и углы $ \angle$ABD = $ \beta$ и $ \angle$A1BD = $ \angle$ACB = $ \gamma$.
Из точки B отрезок AD виден под углом $ \beta$, а отрезок A1D — под углом $ \gamma$ Тогда вершина B есть пересечение двух дуг, построенных на AD и DA1, вмещющих углы $ \beta$ и $ \gamma$ соответственно и расположенных по одну сторону от прямой AA1. Отсюда выстекает следующее построение.
Строим середину D произвольного отрезка AA1 = 2ma. На отрезке AD как на хорде построим дугу окружности так, чтобы из каждой точки этой дуги отрезок AD был виден под данным углом $ \beta$. По ту же сторону от прямой AA1 строим на отрезке A1D как на хорде дугу окружности так, чтобы из каждой точки этой дуги отрезок A1D был виден под данным углом $ \gamma$. Пусть B — точка пересечения этих дуг, отличная от D. На продолжении медианы BA1 треугольника ABA1 отложим отрезок A1C, равный BA1. Тогда треугольник ABC — искомый.
Действительно, AD = $ {\frac{1}{2}}$AA1 = ma — данная медиана.
$\displaystyle \angle$ABC = $\displaystyle \angle$ABD = $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \angle$ACB = $\displaystyle \angle$A1BC = $\displaystyle \angle$A1BD = $\displaystyle \gamma$
-- данные углы.
параллелограмм:<ABC = <ADC, <BAD = <BCD, AB = CD, BC = AD, AB||CD, BC||AD, диагонали BD и AC пересекаются в точке О, BO = OD, AO = OC,
прямоугольник:<ABC = <ADC = <BAD = <BCD, AB = CD, BC = AD, AB||CD, BC||AD, диагонали BD и AC пересекаются в точке О, BO = OC = AO = OD, BA⟂AD, AD⟂DC, DC⟂BC, AB⟂BC
ромб:<ABC = <ADC = <BAD = <BCD, AB = CD = BC = AD, диагонали BD и AC пересекаются в точке О, AO = OC, BO = OD, AB⟂BC, BC⟂DC, CD⟂DA, DA⟂AB
квадрат:<ABC = <ADC = <BAD = <BCD, AB = CD = BC = AD, диагонали BD и AC пересекаются в точке О, BO = OD = OC = AO, AB⟂BC, BC⟂CD, CD⟂AD, AD⟂AB
Як відомо кут між висотами паралелограма дорівнює куту паралелограма ( в даному випадку гострому куту). Проведемо меншу висоту і отримаємо прямокутний трикутник АВК, з якого знайдемо АВ: АВ = ВК/sinA =
= 8/sin60° = 8·2/√3 = 16/√3 = (16·√3)/3 (см). Площу знайдемо за формулою S = CD·BP = 10·(16·√3)/3 = (160·√3)/3 cм².
Відповідь: (160·√3)/3 cм².