Площадь треугольника равна половине произведение его периметра на радиус вписанной окружности:
С другой стороны площадь можно найти как половина произведения основания на высоту: Тогда выражение для радиуса вписанной окружности примет вид:
Основание АС нам неизвестно, поэтому введем обозначения: AC=a, AB=BC=b, и составим систему уравнений: Первое уравнение: - периметр треугольника. В качестве второго уравнения рассмотрим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника BCD, где DC=а/2, так как BD - высота равнобедренного треугольника, а следовательно, и медиана. Второе уравнение:
Подставляем числовые данные в выражения для радиуса:
Ладно, я не хотел, но уж чего там... Две вещи, которые нужно знать для решения 1) свойство биссектрисы треугольника 2) в прямоугольном треугольнике с катетами a и b высота h делит гипотенузу на два отрезка x и y, выполнены соотношения h^2 = x*y; x/y = (a/b)^2; Оба равенства элементарно доказываются из того, что высота делит треугольник на два подобных. Условие EJ/JW = 5/2; означает, что катеты прямоугольного треугольника WCE относятся, как EC/WC = √(5/2); То есть тр-к WCE подобен треугольнику со сторонами √(2/7); √(5/7); 1; (1 это - гипотенуза, можно считать, что я принял длину EW за единицу измерения длины). Можно искать нужные отношения как-бы в этом треугольнике :). Высота такого треугольника равна √10/7; и делит гипотенузу на отрезки 2/7 и 5/7; Теперь надо найти величину отрезка, на который делит меньший из этих двух биссектриса угла между меньшим катетом и высотой. Дело в том, что CF - биссектриса угла WCQ; поскольку дуги CF и QF равны. WF = WJ*CW/(CW + CJ); WF/EW = (WJ/EW)/(1 + CJ/CW); во вс подобном тр-ке этому соответствует величина; (2/7)/(1 + √(5/7)); само собой EF/EW = 1 - WF/EW; Я довел до выражения (5 + √35)/(7 + √35); может тут можно как-то упростить, но мне уже не интересно...
- периметр треугольника.
