Сумма углов треугольника равна 180°. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то угол при вершине равен 180° - 2*30° = 180 - 60 = 120°.
Площадь треугольника равна:
S = 0.5 * AB * BC * sinB = 0.5 AB²sin120°, где AB = BC как боковые стороны.
Тогда AB² = 2S/sin120° = 2*4√3/(√3/2) = 16 ⇒ AB = 4
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, который образован искомой высотой, одной из боковой сторон и половиной длины основания. Угол, противолежащий искомой высоте, равен 30° по условию. Тогда, по определению синуса, h = AB*sin30° = 4 * 0.5 = 2.
ответ: 2
Опустим высоты BH1 и CH2, BH1∩CH2=O, BH1=h1, CH2=h2. Тогда ∠AH1B=∠OH1C=∠CH2A=∠OH2B=90°.
Рассмотрим ΔAH2C. ∠H2СA=180°-90°-45°=45°=∠A(по условию)=> ΔAH2C равнобедренный => AH2=CH2=h2.
Рассмотрим ΔAH1B. ∠H1BA=180°-90°-45°=45°=∠A(по условию)=> ΔAH1B равнобедренный => AH1=BH1=h1.
Рассмотрим четырехугольник AH2OH1. ∠H2OH1=360°-90°-90°-45°=135°. => ∠BOH2=∠COH1=180°-135°=45°.
Рассмотрим ΔBH2O. ∠H2BO=180°-90°-45°=45°=∠BOH2(по доказанному ранее)=> ΔBH2O равнобедренный => BH2=OH2=a.
Рассмотрим ΔCH1O. ∠H1CO=180°-90°-45°=45°=∠COH1(по доказанному ранее)=> ΔCH1O равнобедренный => CH1=OH1=b.
BH1=h1=b+√(BH2²+OH2²)=a√2+b
CH2=h2=a+√(CH1²+OH1²)=a+b√2
Рассмотрим ΔBOC. По неравенству треугольника BC<BO+OC=√(BH2²+OH2²)+√(CH1²+OH1²)=a√2+b√2
Тогда P=AB+BC+AC=h2+a+h1+b+AC<h2+a+h1+b+a√2+b√2=h2+h1+(a+b√2)+(a√2+b)=h1+h2+h1+h2=2(h1+h2)
Ч.т.д.
12°×3+12°=48°
ответ: <AOB=48°