Вершина квадрата,лежащая на ребре SC, равно удалена от рёбер SA (также и SB) и ВС, поэтому она лежит на биссектрисе угла CBS. Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилегающим сторонам. 6 : 12 = 1 :2. Поэтому сторона SC разделится на 3 части: 1 часть ближе к стороне СВ -это (12/3)*1= 4. Это и есть длина стороны квадрата. Теперь переходим к диагонали этого квадрата. Один конец её находится на боковом ребре на расстоянии 1/3 его длины. Значит, и по высоте будет находиться на 1/3 высоты пирамиды. Вершина правильной пирамиды проецируется в точку пересечения медиан треугольника основания - это 2/3 высоты основания, считая от вершины. Высота основания h = 6*cos 30 = 6*(√3/2) = 3√3. 2/3 части её равны 3√3*2 / 3 = 2√3. Отсюда высота пирамиды H = √(12²-(2√3)²) = √(144-12) = √132 = =2√33 = 11,4891. Третья часть составит 2√3 / 3 = 3,82971. Боковая сторона проекции квадрата на основание равна: (2/2) / cos 30 = 1 /(√3/2) = 2 / √3 = 1,1547. Проекция диагонали равна √(4²+ 1.1547²) = √16+ 1,33333) = = √17,3333 = 4,16333. Тангенс угла наклона диагонали квадрата полученного сечения к основанию равен 3,82971 / 4,16333 = 0.91987. Угол равен arc tg 0.91987 = 0.74368 радиан = 42.6099 градуса.
Внутри угла, равного 45°, взята точка, удаленная от сторон угла на расстояния 2 и √2. Найдите квадрат расстояния от этой точки до вершины угла.
Расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром. Пусть дан угол А=45° и точка М в нем. Опустим из точки М перпендикуляры МВ и МС к сторонам угла. Пусть равным 2 будет ВМ, а равным √2 - МС. Из В на другую сторону угла опустим перпендикуляр ВЕ. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° Треугольник АВЕ - прямоугольный и равнобедренный , т.к угол А=45°, и угол АВЕ= 90°-45°=45° Из М проведем параллельно АС отрезок, точку пересечения с ВЕ обозначим К. КМСЕ - квадрат ( все его углы - прямые) ⇒ Треугольник ВКМ - равнобедренный прямоугольный ( доказать просто) КМ=ВК=√2 Тогда ВЕ=2√2⇒ АЕ=2√2 АС=АЕ+ЕС=3√2 АМ- расстояние от М до вершины угла А. АМ²=МС²+АС²= 18+2=20 Квадрат расстояния от точки М до вершины угла равен 20.
